Даны точки А, В и С. Разложить вектор а по ортам і, j, k. Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора а. A(1; 2; - 1), B(1; 3; 4), C(0; 1; 5), ā = AB + CA.

Давайте рассмотрим векторы, которые мы можем вычислить на основе данных точек A, B и C.

1. Находим вектор AB: \[ \vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = (1, 3, 4) - (1, 2, -1) = (0, 1, 5). \]

2. Находим вектор CA: \[ \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} = (1, 2, -1) - (0, 1, 5) = (1, 1, -6). \]

3. Теперь вычислим вектор ā, который равен сумме векторов AB и CA: \[ \vec{a} = \vec{AB} + \vec{CA} = (0, 1, 5) + (1, 1, -6) = (1, 2, -1). \]

Теперь у нас есть вектор \( a = (1, 2, -1) \).

Разложение вектора a по осям i, j, k:

Вектор \( \vec{a} \) можно записать в виде: \[ \vec{a} = 1 \cdot \vec{i} + 2 \cdot \vec{j} - 1 \cdot \vec{k}. \]

Длина вектора a:

Длину вектора \( \vec{a} \) можно найти по формуле: \[ |\vec{a}| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}, \] где \( x, y, z \) — компоненты вектора. \[ |\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6}. \]

Направляющие косинусы:

Направляющие косинусы вектора вычисляются по формулам: \[ \cos(\alpha) = \frac{x}{|\vec{a}|}, \quad \cos(\beta) = \frac{y}{|\vec{a}|}, \quad \cos(\gamma) = \frac{z}{|\vec{a}|}, \] где \( \alpha, \beta, \gamma \) — углы с соответственно осями \( X, Y, Z \).

Для вектора \( \vec{a} = (1, 2, -1) \): \[ \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{6}}, \quad \cos(\beta) = \frac{2}{\sqrt{6}}, \quad \cos(\gamma) = \frac{-1}{\sqrt{6}}. \]

Орт вектора a:

Орт вектора \( \vec{a} \) (единичный вектор) можно найти, разделив вектор на его длину: \[ \hat{a} = \frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}\right). \]

Таким образом, мы нашли разложение вектора, его длину, направляющие косинусы и орт:

1. Разложение: \( \vec{a} = 1\vec{i} + 2\vec{j} - 1\vec{k} \).
2. Длина: \( |\vec{a}| = \sqrt{6} \).
3. Направляющие косинусы: \( \cos(\alpha) = \frac{1}{\sqrt{6}}, \cos(\beta) = \frac{2}{\sqrt{6}}, \cos(\gamma) = \frac{-1}{\sqrt{6}} \).
4. Орт: \( \hat{a} = \left(\frac{1}{\sqrt{6}}, \frac{2}{\sqrt{6}}, \frac{-1}{\sqrt{6}}\right) \).