Вычислить скалярное произведение векторов (2å + в) ä, если à =37 +7- 2k, B{- 1;3;2} 5. Даны А(1;3;7); В(2;4;1) и вектор а{2;3;1}. Вычислить косинус угла между векторами АВ и а.

Давайте сначала разберемся с вашим первым вопросом о скалярном произведении векторов.

Для вычисления скалярного произведения векторов мы используем формулу:

\[ \text{a} \cdot \text{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \]

где \( \text{a} = (a_1, a_2, a_3) \) и \( \text{b} = (b_1, b_2, b_3) \).

В вашем случае вектор \( \text{à} = (37, 7, -2k) \) и вектор \( \text{B} = (-1, 3, 2) \). Подставим эти значения в формулу:

\[ \text{à} \cdot \text{B} = 37 \cdot (-1) + 7 \cdot 3 + (-2k) \cdot 2 \]

Посчитаем каждое произведение:

1. \( 37 \cdot (-1) = -37 \)
2. \( 7 \cdot 3 = 21 \)
3. \( -2k \cdot 2 = -4k \)

Теперь подставим эти значения в формулу:

\[ \text{à} \cdot \text{B} = -37 + 21 - 4k \]

Упрощая, получаем:

\[ \text{à} \cdot \text{B} = -16 - 4k \]

Таким образом, скалярное произведение векторов равно \( -16 - 4k \).

Теперь перейдем ко второму вопросу о косинусе угла между векторами \( \text{АВ} \) и \( \text{а} \).

1. Сначала найдем вектор \( \text{АВ} \): \[ \text{A} = (1, 3, 7), \quad \text{B} = (2, 4, 1) \] \[ \text{АВ} = \text{B} - \text{A} = (2 - 1, 4 - 3, 1 - 7) = (1, 1, -6) \]

2. Теперь найдем вектор \( \text{a} = (2, 3, 1) \).

3. Вычислим скалярное произведение \( \text{АВ} \) и \( \text{a} \): \[ \text{АВ} \cdot \text{a} = 1 \cdot 2 + 1 \cdot 3 + (-6) \cdot 1 = 2 + 3 - 6 = -1 \]

4. Найдем длины векторов \( \text{АВ} \) и \( \text{a} \): \[ |\text{АВ}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-6)^2} = \sqrt{1 + 1 + 36} = \sqrt{38} \] \[ |\text{a}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 9 + 1} = \sqrt{14} \]

5. Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами: \[ \cos(\theta) = \frac{\text{АВ} \cdot \text{a}}{|\text{АВ}| |\text{a}|} \] Подставим полученные значения: \[ \cos(\theta) = \frac{-1}{\sqrt{38} \cdot \sqrt{14}} = \frac{-1}{\sqrt{532}} \]

Таким образом, косинус угла между векторами \( \text{АВ} \) и \( \text{a} \) равен \( \frac{-1}{\sqrt{532}} \).

Если у вас есть дополнительные вопросы или требуется разъяснение, не стесняйтесь спрашивать!