Найди точки экстремума функции: у=4-2х-7х^2 Распиши решение
Чтобы найти точки экстремума функции \( y = 4 - 2x - 7x^2 \), нужно выполнить следующие шаги:
Найти производную функции: Для начала найдем первую производную функции \( y \) по \( x \):
\[ y' = \frac{d}{dx}(4 - 2x - 7x^2) = 0 - 2 - 14x = -2 - 14x \]
То есть, производная функции равна \( y' = -2 - 14x \).
Приравнять производную к нулю: Чтобы найти критические точки (точки, где могут быть экстремумы), приравняем производную к нулю:
\[ -2 - 14x = 0 \]
Решим это уравнение:
\[ -14x = 2 \\ x = -\frac{2}{14} = -\frac{1}{7} \]
Таким образом, мы нашли одну критическую точку \( x = -\frac{1}{7} \).
Определить тип экстремума: Для определения типа экстремума (максимум или минимум) нужно найти вторую производную функции:
\[ y'' = \frac{d}{dx}(-2 - 14x) = -14 \]
Вторая производная \( y'' = -14 \) является отрицательной, что указывает на то, что функция имеет максимум в критической точке.
Найти значение функции в критической точке: Теперь подставим найденное значение \( x = -\frac{1}{7} \) в исходную функцию, чтобы найти соответствующее значение \( y \):
\[ y = 4 - 2\left(-\frac{1}{7}\right) - 7\left(-\frac{1}{7}\right)^2 \\ = 4 + \frac{2}{7} - 7 \cdot \frac{1}{49} \\ = 4 + \frac{2}{7} - \frac{1}{7} \\ = 4 + \frac{1}{7} \\ = \frac{28}{7} + \frac{1}{7} = \frac{29}{7} \]
Таким образом, точка экстремума имеет координаты \( \left(-\frac{1}{7}, \frac{29}{7}\right) \).
Вывод: Мы нашли точку экстремума функции \( y = 4 - 2x - 7x^2 \): это максимум в точке \( \left(-\frac{1}{7}, \frac{29}{7}\right) \).
Надеюсь, это объяснение было полезным! Если у вас есть дополнительные вопросы по данной теме, не стесняйтесь задавать!
