симметричную монету бросают 11 раз. во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Для решения этой задачи используем формулу биномиального распределения. Вероятность получить ровно \( k \) успехов (в данном случае орлов) при \( n \) бросках монеты определяется следующей формулой:
\[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]
где:
- \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \),
- \( p \) — вероятность успеха (выпадение орла, которая равна 0.5 для симметричной монеты),
- \( n \) — общее количество бросков.
В данной задаче \( n = 11 \), \( p = 0.5 \).
Теперь найдем вероятности для событий «выпадет ровно 5 орлов» и «выпадет ровно 4 орла»:
Вероятность попадания ровно 5 орлов: \[ P(X = 5) = C(11, 5) \cdot (0.5)^5 \cdot (0.5)^{11-5} = C(11, 5) \cdot (0.5)^{11} \]
Вероятность попадания ровно 4 орлов: \[ P(X = 4) = C(11, 4) \cdot (0.5)^4 \cdot (0.5)^{11-4} = C(11, 4) \cdot (0.5)^{11} \]
Теперь нужно найти биномиальные коэффициенты \( C(11, 5) \) и \( C(11, 4) \):
\[ C(11, 5) = \frac{11!}{5! \cdot 6!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 462 \]
\[ C(11, 4) = \frac{11!}{4! \cdot 7!} = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330 \]
Теперь подставим значения в формулы для вероятностей:
\[ P(X = 5) = 462 \cdot (0.5)^{11} \] \[ P(X = 4) = 330 \cdot (0.5)^{11} \]
Теперь определим, во сколько раз вероятность \( P(X = 5) \) больше, чем \( P(X = 4) \):
\[ \frac{P(X = 5)}{P(X = 4)} = \frac{462 \cdot (0.5)^{11}}{330 \cdot (0.5)^{11}} = \frac{462}{330} \approx 1.4 \]
Таким образом, вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» примерно на \( 1.4 \) раза больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла».
