Перед началом футбольного матча судья бросает монетку, чтобы определить, какая из команд начнёт игру с мячом. Команда «Сапфир» играет три матча с разными командами. Найдите вероятность того, что в этих матчах команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза
Чтобы решить эту задачу, воспользуемся теорией вероятностей.
Определим понятия:
- Событие "Команда 'Сапфир' начинает игру с мячом" имеет вероятность 0.5, так как это зависит от броска монетки (две возможности: 'Сапфир' или противник).
- Событие "Команда 'Сапфир' не начинает игру с мячом" также имеет вероятность 0.5.
Определим количество матчей: У нас 3 матча, и нам нужно найти вероятность того, что команда 'Сапфир' начнёт игру с мячом не более одного раза. Это включает случаи, когда она начинает с мячом 0 раз или 1 раз.
Используем распределение Бернулли: Для 3 матчей используем биномиальное распределение, где:
- n = 3 (число матчей)
- p = 0.5 (вероятность, что 'Сапфир' начнет с мячом)
Формула биномиального распределения: \[ P(X = k) = C(n, k) \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \] где \( C(n, k) \) — биномиальный коэффициент, который вычисляется как \( C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \).
Пока вычислим вероятности для k = 0 и k = 1:
Для \( k = 0 \): \[ P(X = 0) = C(3, 0) \cdot (0.5)^0 \cdot (0.5)^{3} = 1 \cdot 1 \cdot 0.125 = 0.125 \]
Для \( k = 1 \): \[ P(X = 1) = C(3, 1) \cdot (0.5)^1 \cdot (0.5)^{2} = 3 \cdot 0.5 \cdot 0.25 = 3 \cdot 0.125 = 0.375 \]
Теперь сложим вероятности для k = 0 и k = 1: \[ P(X \leq 1) = P(X = 0) + P(X = 1) = 0.125 + 0.375 = 0.5 \]
Таким образом, вероятность того, что команда «Сапфир» начнёт игру с мячом не более одного раза в трёх матчах, составляет 0.5 или 50%.
