8.15. Из партии в 1 млн шт. мелкокалиберных патронов пу- тем случайного отбора взято для определения дальнобойности боя 1000 шт. Результаты испытаний представлены в следующей…

Для решения задачи про среднюю дальность боя, ошибку выборки и пределы средней дальности боя для всей партии патронов, а также расчета медианы, нам понадобятся следующие шаги.

1. Вычисление средней дальности боя

Сначала найдем среднюю дальность боя. Для этого используем формулу:

\[ \bar{x} = \frac{\Sigma (x_i \cdot n_i)}{N} \]

где:

• \( x_i \) — дальность боя,
• \( n_i \) — количество патронов с данной дальностью,
• \( N \) — общее количество патронов (в данном случае 1000).

Посчитаем:

\[ \bar{x} = \frac{(25 \cdot 120) + (30 \cdot 180) + (35 \cdot 280) + (40 \cdot 170) + (45 \cdot 140) + (50 \cdot 110)}{1000} \] \[ = \frac{(3000) + (5400) + (9800) + (6800) + (6300) + (5500)}{1000} \] \[ = \frac{39900}{1000} = 39.9 \, \text{м} \]

2. Вычисление выборочной ошибки

Выборочная ошибка определяется как:

\[ E = \frac{z \cdot \sigma}{\sqrt{N}} \]

где \( z \) — коэффициент для уровня значимости (для 95.4% \( z \approx 2 \)), \( \sigma \) — стандартное отклонение, а \( N \) — размер выборки.

Сначала найдем стандартное отклонение:

\[ \sigma = \sqrt{\frac{\Sigma (n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2)}{N - 1}} \]

Теперь посчитаем \( (x_i - \bar{x})^2 \):

• Для 25 м: \( (25 - 39.9)^2 \cdot 120 = 10.81 \cdot 120 = 1297.2 \)
• Для 30 м: \( (30 - 39.9)^2 \cdot 180 = 98.01 \cdot 180 = 17643.18 \)
• Для 35 м: \( (35 - 39.9)^2 \cdot 280 = 24.01 \cdot 280 = 6722.8 \)
• Для 40 м: \( (40 - 39.9)^2 \cdot 170 = 0.01 \cdot 170 = 1.7 \)
• Для 45 м: \( (45 - 39.9)^2 \cdot 140 = 26.01 \cdot 140 = 3641.4 \)
• Для 50 м: \( (50 - 39.9)^2 \cdot 110 = 102.01 \cdot 110 = 11221.1 \)

Теперь суммируем:

\[ \Sigma (n_i \cdot (x_i - \bar{x})^2) = 1297.2 + 17643.18 + 6722.8 + 1.7 + 3641.4 + 11221.1 = 31927.48 \]

Теперь найдем стандартное отклонение:

\[ \sigma = \sqrt{\frac{31927.48}{999}} \approx 5.65 \]

Теперь можем найти ошибку выборки:

\[ E = \frac{2 \cdot 5.65}{\sqrt{1000}} \approx \frac{11.3}{31.62} \approx 0.36 \]

3. Определение пределов средней дальности боя

Пределы средней дальности боя можно найти следующим образом:

\[ \text{Нижний предел} = \bar{x} - E = 39.9 - 0.36 = 39.54 \] \[ \text{Верхний предел} = \bar{x} + E = 39.9 + 0.36 = 40.26 \]

4. Расчет медианы

Чтобы рассчитать медиану, необходимо упорядочить данные. У нас есть 1000 патронов. Поскольку 1000 — четное число, медиана будет средней двумя центральными значениями.

При упорядочивании получается следующее количество патронов по дальности:

• 25 м: 120 шт.
• 30 м: 180 шт.
• 35 м: 280 шт.
• 40 м: 170 шт.
• 45 м: 140 шт.
• 50 м: 110 шт.

Суммируя, находим, что к 450-му патрону медианой является 35 м, а к 550-му — 40 м.

Среднее двух центральных значений:

\[ \text{Медиана} = \frac{35 + 40}{2} = 37.5 \, \text{м} \]

Результаты

• Средняя дальность боя: 39.9 м
• Ошибка выборки: 0.36 м
• Пределы средней дальности боя: 39.54 м и 40.26 м
• Медиана: 37.5 м

Если у вас возникнут дополнительные вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать!