Сколькими способами можно выбрать четырёх участников марафона из 16 человек?
Чтобы определить, сколькими способами можно выбрать четырех участников марафона из 16 человек, мы можем использовать формулу для сочетаний. Сочетания используются, когда порядок выбора важен.
Формула для сочетаний выглядит так:
\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]
где:
- \(n\) — общее количество объектов (в данном случае 16),
- \(k\) — количество выбираемых объектов (в данном случае 4),
- \(n!\) — факториал числа \(n\).
Подставим наши значения в формулу:
\[ C(16, 4) = \frac{16!}{4!(16-4)!} = \frac{16!}{4! \cdot 12!} \]
Теперь упростим это выражение. Мы можем записать \(16!\) как \(16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12!\). Таким образом, \(12!\) сокращается:
\[ C(16, 4) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{4!} \]
Теперь найдем \(4!\):
\[ 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24 \]
Теперь подставим это значение обратно:
\[ C(16, 4) = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13}{24} \]
Теперь вычислим числитель:
\[ 16 \times 15 = 240 \] \[ 240 \times 14 = 3360 \] \[ 3360 \times 13 = 43680 \]
Теперь разделим на 24:
\[ C(16, 4) = \frac{43680}{24} = 1820 \]
Таким образом, существует 1820 способов выбрать четырех участников марафона из 16 человек.
