В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов в количестве: 40% с первого завода, 10% - со второго, 50% - с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на…
В магазин поступают однотипные изделия с трех заводов в количестве: 40% с первого завода, 10% - со второго, 50% - с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 70%, на втором — 80%, на третьем — 90%. Какова вероятность того, что: 1) купленное случайным образом изделие будет качественным; 2) купленное изделие изготовлено первым заводом, при условии, что оно оказалось качественным?
Чтобы решить эту задачу, давайте используем формулы теории вероятностей.
- Нахождение вероятности того, что купленное случайным образом изделие будет качественным.
Для этого используем теорему полной вероятности. Обозначим:
- \( P(A_1) = 0.4 \) — вероятность того, что изделие с первого завода.
- \( P(A_2) = 0.1 \) — вероятность того, что изделие со второго завода.
- \( P(A_3) = 0.5 \) — вероятность того, что изделие с третьего завода.
Также у нас есть вероятности качественного изготовления изделий:
- \( P(B|A_1) = 0.7 \) — вероятность, что изделие с первого завода качественное.
- \( P(B|A_2) = 0.8 \) — вероятность, что изделие со второго завода качественное.
- \( P(B|A_3) = 0.9 \) — вероятность, что изделие с третьего завода качественное.
Теперь можем вычислить общую вероятность того, что изделие будет качественным \( P(B) \):
\[ P(B) = P(A_1) \cdot P(B|A_1) + P(A_2) \cdot P(B|A_2) + P(A_3) \cdot P(B|A_3) \]
Подставим числа:
\[ P(B) = 0.4 \cdot 0.7 + 0.1 \cdot 0.8 + 0.5 \cdot 0.9 \]
Рассчитаем по частям:
- \( 0.4 \cdot 0.7 = 0.28 \)
- \( 0.1 \cdot 0.8 = 0.08 \)
- \( 0.5 \cdot 0.9 = 0.45 \)
Теперь сложим результаты:
\[ P(B) = 0.28 + 0.08 + 0.45 = 0.81 \]
Таким образом, вероятность того, что купленное случайным образом изделие будет качественным, равна 0.81 или 81%.
- Нахождение вероятности того, что купленное изделие изготовлено первым заводом, при условии, что оно оказалось качественным.
Для этого воспользуемся формулой Байеса:
\[ P(A_1|B) = \frac{P(B|A_1) \cdot P(A_1)}{P(B)} \]
Мы уже знаем все значения:
- \( P(B|A_1) = 0.7 \)
- \( P(A_1) = 0.4 \)
- \( P(B) = 0.81 \) (вычисленная ранее)
Подставим значения в формулу:
\[ P(A_1|B) = \frac{0.7 \cdot 0.4}{0.81} \]
Теперь произведем расчеты:
\[ 0.7 \cdot 0.4 = 0.28 \]
И подставим в формулу:
\[ P(A_1|B) = \frac{0.28}{0.81} \approx 0.3457 \]
Таким образом, вероятность того, что изделие изготовлено первым заводом, при условии, что оно оказалось качественным, составляет примерно 0.346 или 34.6%.
Если у вас есть еще вопросы по этой теме или другим аспектам теории вероятностей, не стесняйтесь задавать!
