Решите систему уравнений: {2х+у=7, х²-у=1

Чтобы решить систему уравнений:

1. \( 2x + y = 7 \)
2. \( x^2 - y = 1 \)

начнем с первого уравнения и выразим \( y \) через \( x \):

\[ y = 7 - 2x \]

Теперь подставим это выражение для \( y \) во второе уравнение:

\[ x^2 - (7 - 2x) = 1 \]

Раскроем скобки:

\[ x^2 - 7 + 2x = 1 \]

Переносим все члены на одну сторону уравнения:

\[ x^2 + 2x - 8 = 0 \]

Теперь нам нужно решить это квадратное уравнение. Для этого можно использовать дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 \]

Так как \( D > 0 \), у уравнения есть два различных корня. Находим их по формуле:

\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-2 \pm 6}{2} \]

Теперь рассчитываем корни:

1. \( x_1 = \frac{-2 + 6}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
2. \( x_2 = \frac{-2 - 6}{2} = \frac{-8}{2} = -4 \)

Теперь подставим найденные значения \( x \) обратно в уравнение для \( y \).

Для \( x_1 = 2 \):

\[ y_1 = 7 - 2 \cdot 2 = 7 - 4 = 3 \]

Для \( x_2 = -4 \):

\[ y_2 = 7 - 2 \cdot (-4) = 7 + 8 = 15 \]

Таким образом, мы нашли два решения системы:

1. \( (x_1, y_1) = (2, 3) \)
2. \( (x_2, y_2) = (-4, 15) \)

Ответ: система уравнений имеет два решения: \( (2, 3) \) и \( (-4, 15) \).