даны точки А(-3;0;7), В(5;5;-6), С(8;9;-1), D(2;-4;0). Найти косинус угла между векторами АВ и АС
Чтобы найти косинус угла между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \), сначала нужно определить координаты этих векторов.
- Найдем вектор \( \vec{AB} \):
\[ \vec{AB} = B - A = (5 - (-3), 5 - 0, -6 - 7) = (5 + 3, 5, -6 - 7) = (8, 5, -13) \]
- Найдем вектор \( \vec{AC} \):
\[ \vec{AC} = C - A = (8 - (-3), 9 - 0, -1 - 7) = (8 + 3, 9, -1 - 7) = (11, 9, -8) \]
- Теперь используем формулу для нахождения косинуса угла между векторами:
\[ \cos \theta = \frac{\vec{AB} \cdot \vec{AC}}{|\vec{AB}| |\vec{AC}|} \]
где \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \) - скалярное произведение векторов, а \( |\vec{AB}| \) и \( |\vec{AC}| \) - длины векторов.
- Вычислим скалярное произведение \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} \):
\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 8 \cdot 11 + 5 \cdot 9 + (-13) \cdot (-8) = 88 + 45 + 104 = 237 \]
- Теперь найдем длину векторов:
\[ |\vec{AB}| = \sqrt{8^2 + 5^2 + (-13)^2} = \sqrt{64 + 25 + 169} = \sqrt{258} \]
\[ |\vec{AC}| = \sqrt{11^2 + 9^2 + (-8)^2} = \sqrt{121 + 81 + 64} = \sqrt{266} \]
- Теперь подставим все значения в формулу для косинуса угла:
\[ \cos \theta = \frac{237}{\sqrt{258} \cdot \sqrt{266}} \]
- Вычислим значение:
Для точного значения вам потребуется посчитать произведение под корнем и разделить 237 на полученное значение.
Таким образом, мы получим косинус угла между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \). Вы можете использовать калькулятор для нахождения окончательного значения.
