Решить уравнение. x^2-25/x^3+4x^2+25=0
Для решения уравнения \( \frac{x^2 - 25}{x^3 + 4x^2 + 25} = 0 \) необходимо обратить внимание на то, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Рассмотрим числитель:
\( x^2 - 25 = 0 \)
Это выражение можно разложить на множители:
\( (x - 5)(x + 5) = 0 \)
Таким образом, получаем два корня:
\( x - 5 = 0 \) ⇒ \( x = 5 \)
\( x + 5 = 0 \) ⇒ \( x = -5 \)
Теперь у нас есть корни: \( x = 5 \) и \( x = -5 \).
Далее проверим знаменатель:
\( x^3 + 4x^2 + 25 \neq 0 \)
Определим значение знаменателя для наших корней:
- Для \( x = 5 \):
\( 5^3 + 4 \cdot 5^2 + 25 = 125 + 100 + 25 = 250 \neq 0 \)
- Для \( x = -5 \):
\( (-5)^3 + 4 \cdot (-5)^2 + 25 = -125 + 100 + 25 = 0 \)
Значит, при \( x = -5 \) знаменатель равен нулю, а это делает этот корень недопустимым.
Таким образом, единственным допустимым решением уравнения является:
\( x = 5 \)
