X-2/x-1+5/x-1=6/x^2-2

Давайте решим уравнение, которое вы представили:

\[ \frac{x - 2}{x - 1} + \frac{5}{x - 1} = \frac{6}{x^2 - 2} \]

Сначала объединим дроби с одинаковым знаменателем слева. У нас есть:

\[ \frac{x - 2 + 5}{x - 1} = \frac{x + 3}{x - 1} \]

Тогда уравнение становится:

\[ \frac{x + 3}{x - 1} = \frac{6}{x^2 - 2} \]

Теперь у нас есть дроби по обе стороны. Мы можем перекрестно перемножить:

\[ (x + 3)(x^2 - 2) = 6(x - 1) \]

Раскроем скобки. Сначала левая часть:

\[ x^3 + 3x^2 - 2x - 6 \]

Теперь правая часть:

\[ 6x - 6 \]

Приравняем их:

\[ x^3 + 3x^2 - 2x - 6 = 6x - 6 \]

Переносим всё в одну сторону уравнения:

\[ x^3 + 3x^2 - 8x = 0 \]

Теперь мы можем вынести общий множитель \(x\):

\[ x(x^2 + 3x - 8) = 0 \]

Это уравнение имеет два решения: \(x = 0\) или \(x^2 + 3x - 8 = 0\).

Для второго уравнения используем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 9 + 32 = 41 \]

Теперь находим корни:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm \sqrt{41}}{2} \]

Таким образом, у нас есть одно простое решение \(x = 0\) и два решения из квадратного уравнения:

\[ x = \frac{-3 + \sqrt{41}}{2} \quad \text{и} \quad x = \frac{-3 - \sqrt{41}}{2} \]

Это все решения для данного уравнения. Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно объяснение по другим темам, не стесняйтесь спрашивать!