(х^2+2х) ^2-2(х^2+2х) -3=0

Чтобы решить уравнение \( (x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0 \), начнем с подстановки. Обозначим \( y = x^2 + 2x \). Тогда уравнение можно переписать как:

\[ y^2 - 2y - 3 = 0 \]

Теперь это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью формулы корней:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

В нашем случае \( a = 1 \), \( b = -2 \), \( c = -3 \). Подставим эти значения в формулу:

\[ y = \frac{-(-2) \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ y = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ y = \frac{2 \pm 4}{2} \]

Теперь найдем два значения для \( y \):

1. \( y_1 = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \)
2. \( y_2 = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \)

Теперь вернемся к исходной подстановке \( y = x^2 + 2x \).

Рассмотрим первое значение \( y = 3 \):

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Это также квадратное уравнение, которое можем решить:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} \] \[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

Теперь найдем два корня:

1. \( x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
2. \( x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \)

Теперь рассмотрим второе значение \( y = -1 \):

\[ x^2 + 2x + 1 = 0 \]

Это квадратное уравнение можно привести к виду:

\[ (x + 1)^2 = 0 \]

Корень этого уравнения:

\[ x = -1 \]

Теперь у нас есть три корня:

1. \( x = 1 \)
2. \( x = -3 \)
3. \( x = -1 \)

Таким образом, решение уравнения \( (x^2 + 2x)^2 - 2(x^2 + 2x) - 3 = 0 \) даёт следующие значения:

\[ x = 1, \quad x = -3, \quad x = -1 \]