Найти общее реш-е ДУ с разделя. нищимися переменными a) xy dx +(x+1)dy Б) xy y’=1-x2
Давайте разберем ваше дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными.
a) Уравнение: \( xy \, dx + (x+1) \, dy = 0 \)
Это уравнение можно переписать в виде:
\[ xy \, dx = -(x+1) \, dy. \]
Теперь разделим переменные:
\[ \frac{dy}{y} = -\frac{x}{x+1} \, dx. \]
Теперь интегрируем обе стороны:
\[ \int \frac{dy}{y} = -\int \frac{x}{x+1} \, dx. \]
Левая часть интеграла:
\[ \int \frac{dy}{y} = \ln |y| + C_1, \]
Правая часть требует чуть больше работы. Мы можем записать \( \frac{x}{x+1} = 1 - \frac{1}{x+1} \):
\[ -\int \frac{x}{x+1} \, dx = -\int (1 - \frac{1}{x+1}) \, dx = -\left( x - \ln |x+1| \right) + C_2. \]
Таким образом, у нас получается:
\[ \ln |y| = -x + \ln |x+1| + C. \]
Экспоненцируем обе части:
\[ |y| = e^{C} |x+1| e^{-x}. \]
Постоянная \( e^{C} \) может быть заменена на \( C_3 \):
\[ y = C_3 (x+1)e^{-x}. \]
б) Уравнение: \( xy y' = 1 - x^2 \)
Сначала запишем уравнение в более удобной форме:
\[ y' = \frac{1 - x^2}{xy}. \]
Теперь мы можем разделить переменные:
\[ \frac{dy}{1 - x^2} = \frac{dx}{x}. \]
Интегрируем обе стороны:
\[ \int \frac{dy}{1 - x^2} = \int \frac{dx}{x}. \]
Левая часть интеграла:
\[ \int \frac{dy}{1 - x^2} = \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| + C_1, \]
А правая часть:
\[ \int \frac{dx}{x} = \ln |x| + C_2. \]
Таким образом, мы имеем:
\[ \frac{1}{2} \ln |1 - x^2| = \ln |x| + C. \]
Экспоненцируя обе части, получаем:
\[ |1 - x^2|^{1/2} = C |x|. \]
Отсюда можно выразить \( y \):
\[ y = k |x| \sqrt{|1 - x^2|}, \]
где \( k \) - некоторая константа.
В итоге, для обоих уравнений мы получили общее решение. Если у вас возникли дополнительные вопросы или нужны уточнения по каким-либо шагам, не стесняйтесь спрашивать!
