4^x+1+7*2^x-2=0
Чтобы решить уравнение \(4^{x+1} + 7 \cdot 2^x - 2 = 0\), давайте сначала упростим его.
Мы знаем, что \(4\) можно выразить как \(2^2\), поэтому можно записать \(4^{x+1}\) как \((2^2)^{x+1} = 2^{2(x+1)} = 2^{2x + 2}\). Таким образом, уравнение становится:
\[ 2^{2x + 2} + 7 \cdot 2^x - 2 = 0 \]
Теперь упрощаем его:
\[ 2^{2x + 2} = 4 \cdot 2^{2x} \]
Таким образом, уравнение можно записать как:
\[ 4 \cdot 2^{2x} + 7 \cdot 2^x - 2 = 0 \]
Теперь сделаем замену переменной. Пусть \(y = 2^x\). Тогда квадрат \(2^{2x}\) будет \((2^x)^2 = y^2\). Подставим это в уравнение:
\[ 4y^2 + 7y - 2 = 0 \]
Теперь мы можем решить квадратное уравнение с помощью формулы:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \(a = 4\), \(b = 7\), и \(c = -2\). Подставим значения:
\[ D = 7^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-2) = 49 + 32 = 81 \]
Теперь найдем корни:
\[ y = \frac{-7 \pm \sqrt{81}}{8} = \frac{-7 \pm 9}{8} \]
Это дает нам два значения:
- \(y = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\)
- \(y = \frac{-16}{8} = -2\) (это значение не подходит, так как \(y = 2^x\) должно быть положительным)
Теперь, возвращаясь к \(y = 2^x\):
\[ 2^x = \frac{1}{4} = 2^{-2} \]
Это значит, что:
\[ x = -2 \]
Таким образом, мы получаем решение уравнения:
\[ \boxed{-2} \]
