Вычислить определитель матрицы A =(-8;1;-1; -2;1;2; -1;3;0) по третьей строке
Чтобы вычислить определитель матрицы \( A \) по третьей строке, воспользуемся формулой для вычисления определителя через разложение по строке. Ваша матрица \( A \) выглядит так:
\[ A = \begin{pmatrix} -8 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & 2 \\ -1 & 3 & 0 \end{pmatrix} \]
Определитель матрицы может быть вычислен следующим образом:
\[ \text{det}(A) = (-1)^{3+1} \cdot a_{31} \cdot \text{det}(M_{31}) + (-1)^{3+2} \cdot a_{32} \cdot \text{det}(M_{32}) + (-1)^{3+3} \cdot a_{33} \cdot \text{det}(M_{33}) \]
где \( a_{ij} \) — элементы матрицы, а \( M_{ij} \) — миноры, получаемые из матрицы, отсекая i-ю строку и j-ю колонку.
В нашем случае:
- \( a_{31} = -1 \)
- \( a_{32} = 3 \)
- \( a_{33} = 0 \)
Теперь вычислим миноры:
- Минор \( M_{31} \) (удаляем 3-ю строку и 1-ю колонку):
\[ M_{31} = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} \]
Определитель этого минора:
\[ \text{det}(M_{31}) = 1 \cdot 2 - (-1) \cdot 1 = 2 + 1 = 3 \]
- Минор \( M_{32} \) (удаляем 3-ю строку и 2-ю колонку):
\[ M_{32} = \begin{pmatrix} -8 & -1 \\ -2 & 2 \end{pmatrix} \]
Определитель этого минора:
\[ \text{det}(M_{32}) = (-8) \cdot 2 - (-1) \cdot (-2) = -16 - 2 = -18 \]
- Минор \( M_{33} \) (удаляем 3-ю строку и 3-ю колонку):
\[ M_{33} = \begin{pmatrix} -8 & 1 \\ -2 & 1 \end{pmatrix} \]
Определитель этого минора:
\[ \text{det}(M_{33}) = (-8) \cdot 1 - 1 \cdot (-2) = -8 + 2 = -6 \]
Теперь подставим все в формулу для определения:
\[ \text{det}(A) = (-1)^{4} \cdot (-1) \cdot 3 + (-1)^{5} \cdot 3 \cdot (-18) + (-1)^{6} \cdot 0 \cdot (-6) \]
\[ = 1 \cdot (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 3 \cdot (-18) + 0 = -3 + 54 + 0 \]
\[ = 51 \]
Таким образом, определитель матрицы \( A \) равен \( 51 \).
