решите систему линейных уравнений по формуле Крамера 5x^1+x^2-3x^3=7, -5x^1-x^2-2x^3=7, x^1+4x^2-5x^3=-9
Чтобы решить систему линейных уравнений с помощью формулы Крамера, сначала представим данную систему в виде матриц.
Система уравнений:
- \( 5x^1 + x^2 - 3x^3 = 7 \)
- \( -5x^1 - x^2 - 2x^3 = 7 \)
- \( x^1 + 4x^2 - 5x^3 = -9 \)
Запишем коэффициенты в виде матрицы \( A \) и независимые члены в векторе \( B \):
\[ A = \begin{pmatrix} 5 & 1 & -3 \\ -5 & -1 & -2 \\ 1 & 4 & -5 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 7 \\ 7 \\ -9 \end{pmatrix} \]
Теперь вычислим определитель матрицы \( A \) (обозначим его \( D \)):
\[ D = \begin{vmatrix} 5 & 1 & -3 \\ -5 & -1 & -2 \\ 1 & 4 & -5 \end{vmatrix} \]
Определитель можно вычислить по формуле:
\[ D = a_{11}(a_{22}a_{33} - a_{23}a_{32}) - a_{12}(a_{21}a_{33} - a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} - a_{22}a_{31}) \]
Подставим значения:
\[ D = 5((-1)(-5) - (-2)(4)) - 1((-5)(-5) - (-2)(1)) + (-3)((-5)(4) - (-1)(1)) \]
Вычислим:
- Для первого слагаемого: \( 5(5 + 8) = 5 \times 13 = 65 \)
- Для второго слагаемого: \( -1(25 + 2) = -1 \times 27 = -27 \)
- Для третьего слагаемого: \( -3(-20 + 1) = -3 \times (-19) = 57 \)
Теперь собираем все вместе:
\[ D = 65 - 27 + 57 = 95 \]
Теперь нам нужно найти определители трех новых матриц, чтобы найти \( D_1, D_2, D_3 \).
- \( D_1 \) - заменяем первый столбец на вектор \( B \):
\[ D_1 = \begin{vmatrix} 7 & 1 & -3 \\ 7 & -1 & -2 \\ -9 & 4 & -5 \end{vmatrix} \]
Посчитаем \( D_1 \):
\[ D_1 = 7((-1)(-5) - (-2)(4)) - 1(7(-5) - (-2)(-9)) - 3(7 \cdot 4 - (-1)(-9)) \] Вычислим:
- \( 7(5 + 8) = 7 \times 13 = 91 \)
- \( -1(-35 - 18) = 53 \)
- \( -3(28 - 9) = -3 \times 19 = -57 \)
Итого:
\[ D_1 = 91 - 53 - 57 = -19 \]
- \( D_2 \) - заменяем второй столбец на вектор \( B \):
\[ D_2 = \begin{vmatrix} 5 & 7 & -3 \\ -5 & 7 & -2 \\ 1 & -9 & -5 \end{vmatrix} \]
Повторим те же шаги:
\[ D_2 = 5(7 \cdot (-5) - (-2)(-9)) - 7(-5 \cdot (-5) - (-2)(1)) - 3 (-5 \cdot (-9) - 7 \cdot 1) \] После вычислений получаем:
\[ D_2 = 5(-35 - 18) - 7(25 - 2) - 3(45 - 7) = 5 \cdot (-53) - 7 \cdot 23 - 3 \cdot 38 \] \[ D_2 = -265 - 161 - 114 = -540 \]
- \( D_3 \) - заменяем третий столбец на вектор \( B \):
\[ D_3 = \begin{vmatrix} 5 & 1 & 7 \\ -5 & -1 & 7 \\ 1 & 4 & -9 \end{vmatrix} \]
Аналогично:
\[ D_3 = 5((-1)(-9) - 7 \cdot 4) - 1(-5 \cdot (-9) - 7 \cdot 1) + 7(-5 \cdot 4 - (-1) \cdot 1) \] Вычислив все, получаем:
\[ D_3 = 5(9 - 28) - 1(45 - 7) + 7(-20 - 1) = 5(-19) - 38 - 147 = -95 - 38 - 147 = -280 \]
Теперь можем найти \( x^1, x^2, x^3 \):
\[ x^1 = \frac{D_1}{D} = \frac{-19}{95} = -\frac{1}{5} \]
\[ x^2 = \frac{D_2}{D} = \frac{-540}{95} = -\frac{108}{19} \]
\[ x^3 = \frac{D_3}{D} = \frac{-280}{95} = -\frac{56}{19} \]
В итоге, решения системы уравнений:
\[ x^1 = -\frac{1}{5}, \quad x^2 = -\frac{108}{19}, \quad x^3 = -\frac{56}{19} \]
Эти значения являются решениями данной системы линейных уравнений. Если есть дополнительные вопросы или вам нужно больше пояснений, не стесняйтесь спрашивать!
