x⁴-5x²+4=0; x⁴-5x²+6=0; x⁴-8x²-9=0; x⁴+14x²-32=0; 4x⁴-9x²+2=0; 3x⁴+8x²-3=0;
Давайте разберём все уравнения по порядку. Вы можете заметить, что все они имеют вид уравнения четвёртой степени, а именно \( x^4 + bx^2 + c = 0 \). Это можно решить, заменив \( y = x^2 \), что приводит нас к уравнению второй степени.
Уравнение \( x^4 - 5x^2 + 4 = 0 \): Заменим \( x^2 \) на \( y \): \[ y^2 - 5y + 4 = 0. \] Используем формулу корней: \[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{2} = \frac{5 \pm 3}{2}. \] Это даёт два решения: \( y = 4 \) и \( y = 1 \). Возвращаясь к \( x \), получаем: \[ x^2 = 4 \Rightarrow x = \pm 2, \quad x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1. \]
Уравнение \( x^4 - 5x^2 + 6 = 0 \): Заменяем \( y = x^2 \): \[ y^2 - 5y + 6 = 0. \] Корни: \[ y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 24}}{2} = \frac{5 \pm 1}{2}. \] Это даёт \( y = 3 \) и \( y = 2 \) и, соответственно: \[ x^2 = 3 \Rightarrow x = \pm \sqrt{3}, \quad x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}. \]
Уравнение \( x^4 - 8x^2 - 9 = 0 \): Заменим на \( y \): \[ y^2 - 8y - 9 = 0. \] Корни: \[ y = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 36}}{2} = \frac{8 \pm 10}{2}. \] Это даёт \( y = 9 \) и \( y = -1 \): \[ x^2 = 9 \Rightarrow x = \pm 3, \quad x^2 = -1 \text{(нет действительных корней)}. \]
Уравнение \( x^4 + 14x^2 - 32 = 0 \): Заменим на \( y \): \[ y^2 + 14y - 32 = 0. \] Корни: \[ y = \frac{-14 \pm \sqrt{196 + 128}}{2} = \frac{-14 \pm 18}{2}. \] Это даёт \( y = 2 \) и \( y = -16 \): \[ x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}, \quad x^2 = -16 \text{(нет действительных корней)}. \]
Уравнение \( 4x^4 - 9x^2 + 2 = 0 \): Заменим на \( y \): \[ 4y^2 - 9y + 2 = 0. \] Корни: \[ y = \frac{9 \pm \sqrt{81 - 32}}{8} = \frac{9 \pm 7}{8}. \] Это даёт \( y = 2 \) и \( y = \frac{1}{4} \): \[ x^2 = 2 \Rightarrow x = \pm \sqrt{2}, \quad x^2 = \frac{1}{4} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{2}. \]
Уравнение \( 3x^4 + 8x^2 - 3 = 0 \): Заменим на \( y \): \[ 3y^2 + 8y - 3 = 0. \] Корни: \[ y = \frac{-8 \pm \sqrt{64 + 36}}{6} = \frac{-8 \pm 10}{6}. \] Это даёт \( y = \frac{1}{3} \) и \( y = -3 \): \[ x^2 = \frac{1}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{1}{\sqrt{3}}, \quad x^2 = -3 \text{(нет действительных корней)}. \]
Вот так мы решаем каждое из предложенных уравнений. Если нужны дополнительные детали или пояснения, не стесняйтесь спрашивать!
