Найдите наименьшее значение выражения x+4/x при x >0

Чтобы найти наименьшее значение выражения \( y = x + \frac{4}{x} \) при \( x > 0 \), мы можем воспользоваться методом нахождения производной и определением критических точек.

1. Найдите производную функции: \[ y' = 1 - \frac{4}{x^2} \]

2. Приравняйте производную к нулю для нахождения критических точек: \[ 1 - \frac{4}{x^2} = 0 \] \[ \frac{4}{x^2} = 1 \] \[ x^2 = 4 \implies x = 2 \quad (так как x > 0) \]

3. Проверьте, является ли это минимумом, с помощью второй производной: \[ y'' = \frac{8}{x^3} \] Подставим \( x = 2 \): \[ y''(2) = \frac{8}{2^3} = \frac{8}{8} = 1 > 0 \] Это означает, что функция имеет минимум в точке \( x = 2 \).

4. Найдите значение функции в этой точке: \[ y(2) = 2 + \frac{4}{2} = 2 + 2 = 4 \]

Таким образом, наименьшее значение выражения \( x + \frac{4}{x} \) при \( x > 0 \) равно \( 4 \).