84.1. 1) Дано: ZDAB= ZDMP, ZDMK= ZDAC (рис. 223). Докажите, что плоскости МРК и АВС параллельны. 2) Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости а. Через середину ВА - точку М проведена плоскость в, параллельная плоскости а и пересекающая ВС в точке К. Найдите МК, если АС= 10 см.

1. Чтобы доказать, что плоскости МРК и АВС параллельны, воспользуемся заданными равенствами углов. Из условия известно, что углы ZDAB и ZDMP равны, а также углы ZDMK и ZDAC. Это значит, что если два угла, которые образованы пересечением двух плоскостей, равны, то эти плоскости параллельны.

Поскольку ZDAB = ZDMP и ZDMK = ZDAC, то можно утверждать, что плоскости МРК и АВС не пересекаются (так как угол между ними равен нулю, следовательно, они параллельны). Таким образом, мы пришли к выводу, что плоскости МРК и АВС действительно параллельны.

2. Сторона АС треугольника ABC лежит в плоскости а. Плоскость b проходит через середину BA, то есть точку M, и является параллельной плоскости а, она будет пересекать отрезок BC в точке K.

Поскольку плоскости а и b параллельны, то отрезок MK будет равен половине отрезка AC по теореме о середине. Сторона AC равна 10 см, следовательно, отрезок MK будет равен:

\( MK = \frac{AC}{2} = \frac{10 \, \text{см}}{2} = 5 \, \text{см}. \)

Таким образом, длина отрезка MK составляет 5 см.