84.1. 1) Дано: DAB= DMP, DMK= DAC (рис. 223). Докажите, что плоскости МРК и АВС параллельны. 2) Сторона АС треугольника АВС лежит в плоскости а. Через середину ВА - точку М проведена плоскость в, параллельная плоскости а и пересекающая ВС в точке К. Найдите МК, если АС= 10 см.

1. Чтобы доказать, что плоскости МРК и АВС параллельны, используем данные о равенстве углов: DAB= DMP и DMK= DAC. По определению, если два угла, лежащие в разных плоскостях, равны, и эти плоскости пересекаются, то эти плоскости параллельны. Если угол DAB равен углу DMP, это означает, что линии AB и MP находятся в одной и той же относительной позиции по отношению к плоскостям, следовательно, плоскость МРК не может пересекаться с плоскостью АВС и, следовательно, они параллельны. Таким образом, плоскости МРК и АВС находятся в равновесии и не пересекаются, что и требуется доказать.

2. Поскольку плоскость б проходит через середину отрезка BA в точке М и параллельна плоскости а, это значит, что отрезок MK, который пересекает отрезок BC, будет равен половине стороны AC. По условию, AC = 10 см. Таким образом, отрезок MK будет равен:

\[MK = \frac{1}{2} \times AC = \frac{1}{2} \times 10 см = 5 см.\]

Итак, длина отрезка MK равна 5 см.