5(a+b) (a-b)² --------- ÷ ----------- = 3(a²+b²) a²+b²

Чтобы упростить выражение \(\frac{5(a+b)(a-b)^2}{3(a^2+b^2)(a^2+b^2)}\), давайте последовательно разберёмся с каждой частью.

1. Упрощение числителя:
   • Имеем \(5(a+b)(a-b)^2\).
   • По формуле разности квадратов, \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
   • Таким образом, числитель можно записать как \(5(a+b)(a^2 - 2ab + b^2)\).

Теперь, давайте раскроем скобки: \[ 5(a+b)(a^2 - 2ab + b^2) = 5 \left( a^3 - 2a^2b + ab^2 + ba^2 - 2ab^2 + b^3 \right) = 5(a^3 + b^3 - ab(2a + 2b)). \]

2. Упрощение знаменателя:
   • Знаменатель \(3(a^2+b^2)(a^2+b^2) = 3(a^2+b^2)^2\).

Таким образом, мы имеем следующее выражение: \[ \frac{5(a^3 + b^3 - 2ab(a + b))}{3(a^2 + b^2)^2}. \]

3. Проверка сокращений:

   • Важно проверить, можно ли ещё что-то сократить. Если у вас есть дополнительные условия на \(a\) и \(b\), например, если они равны или один из них равен нулю, можно будет упростить ещё больше.

4. Конечный ответ: Таким образом, итоговое выражение будет: \[ \frac{5(a^3 + b^3 - 2ab(a + b))}{3(a^2+b^2)^2}. \]

Если у вас будут дополнительные вопросы или понадобится больше разъяснений по данной теме, не стесняйтесь обращаться!