Сократи дробь 12a²-6ab/b²-4a² и найди ее значение при a=1, b=3

Чтобы сократить дробь \( \frac{12a^{2} - 6ab}{b^{2} - 4a^{2}} \), начнем с факторизации числителя и знаменателя.

1. Факторизация числителя: В числителе \( 12a^{2} - 6ab \) мы можем вынести общий множитель: \[ 12a^{2} - 6ab = 6a(2a - b) \]

2. Факторизация знаменателя: В знаменателе \( b^{2} - 4a^{2} \) это разность квадратов, которая может быть записана как: \[ b^{2} - 4a^{2} = (b - 2a)(b + 2a) \]

Теперь запишем дробь с использованием найденных множителей: \[ \frac{12a^{2} - 6ab}{b^{2} - 4a^{2}} = \frac{6a(2a - b)}{(b - 2a)(b + 2a)} \]

На этом этапе дробь нельзя упростить далее, так как нет общих множителей в числителе и знаменателе.

Теперь найдем значение дроби при \( a = 1 \) и \( b = 3 \):

1. Подставим значения \( a = 1 \) и \( b = 3 \) в дробь:

   • Числитель: \[ 6(1)(2(1) - 3) = 6 \cdot 1 \cdot (2 - 3) = 6 \cdot 1 \cdot (-1) = -6 \]
   • Знаменатель: \[ (3 - 2(1))(3 + 2(1)) = (3 - 2)(3 + 2) = 1 \cdot 5 = 5 \]

2. Таким образом, дробь становится: \[ \frac{-6}{5} \]

Ответ: \( \frac{12a^{2} - 6ab}{b^{2} - 4a^{2}} = \frac{-6}{5} \) при \( a = 1 \) и \( b = 3 \).