Частица движется так, что ее скорость изменяется со временем по закону (t) = 3t×i-4t^2*j+4*k (м/с), где время в секундах. В начальный момент времени t0 = 0 частица находилась в точке с координатами (0; 1 м; 0). Найти: 1) зависимость от времени модуля скорости частицы; 2) зависимости от времени вектора ускорения и модуля ускорения; 3) кинематический закон движения частицы; 4) радиус-вектор в момент времени t1 = 1, 0c ; 5 ) модуль перемещения частицы за время ∆t=t1-t0.

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Зависимость от времени модуля скорости частицы.

Скорость частицы задана векторной функцией: \[ \mathbf{v}(t) = 3t \cdot \mathbf{i} - 4t^2 \cdot \mathbf{j} + 4 \cdot \mathbf{k} \]

Чтобы найти модуль скорости, нужно вычислить: \[ |\mathbf{v}(t)| = \sqrt{(3t)^2 + (-4t^2)^2 + (4)^2} \]

Вычислим: \[ |\mathbf{v}(t)| = \sqrt{9t^2 + 16t^4 + 16} \] \[ |\mathbf{v}(t)| = \sqrt{16 + 9t^2 + 16t^4} \]

2. Зависимость от времени вектора ускорения и модуля ускорения.

Ускорение – это производная скорости по времени: \[ \mathbf{a}(t) = \frac{d\mathbf{v}}{dt} = \frac{d}{dt}(3t \cdot \mathbf{i} - 4t^2 \cdot \mathbf{j} + 4 \cdot \mathbf{k}) = 3 \cdot \mathbf{i} - 8t \cdot \mathbf{j} + 0 \cdot \mathbf{k} \]

Таким образом, вектор ускорения: \[ \mathbf{a}(t) = 3 \cdot \mathbf{i} - 8t \cdot \mathbf{j} \]

Теперь находим модуль ускорения: \[ |\mathbf{a}(t)| = \sqrt{(3)^2 + (-8t)^2} = \sqrt{9 + 64t^2} \]

3. Кинематический закон движения частицы.

Для нахождения закона движения, нужно интегрировать скорость по времени. Мы можем оставить начальные условия. Начальная позиция: \(\mathbf{r}(0) = (0, 1, 0)\).

Интегрируем скорость: \[ \mathbf{r}(t) = \int \mathbf{v}(t) dt = \int (3t \cdot \mathbf{i} - 4t^2 \cdot \mathbf{j} + 4 \cdot \mathbf{k}) dt \] \[ = \left(\frac{3t^2}{2}\right) \cdot \mathbf{i} - \left(\frac{4t^3}{3}\right) \cdot \mathbf{j} + 4t \cdot \mathbf{k} + \mathbf{C} \]

Где \(\mathbf{C}\) – вектор произвольной интеграции, который можно найти по начальным условиям. В момент времени \(t=0\): \[ \mathbf{r}(0) = \mathbf{C} = (0, 1, 0) \]

Итоговое выражение для радиус-вектора: \[ \mathbf{r}(t) = \left(\frac{3t^2}{2}, 1 - \frac{4t^3}{3}, 4t\right) \]

4. Радиус-вектор в момент времени \(t_1 = 1 \, с\): \[ \mathbf{r}(1) = \left(\frac{3 \cdot 1^2}{2}, 1 - \frac{4 \cdot 1^3}{3}, 4 \cdot 1\right) = \left(\frac{3}{2}, 1 - \frac{4}{3}, 4\right) \] \[ = \left(\frac{3}{2}, \frac{-1}{3}, 4\right) \]

5. Модуль перемещения частицы за время \(\Delta t = t_1 - t_0\).

Сначала найдем радиус-вектор в момент времени \(t_0 = 0\): \[ \mathbf{r}(0) = (0, 1, 0) \]

Теперь перемещение: \[ \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r}(1) - \mathbf{r}(0) = \left(\frac{3}{2}, \frac{-1}{3}, 4\right) - (0, 1, 0) = \left(\frac{3}{2}, \frac{-4}{3}, 4\right) \]

Теперь находим модуль перемещения: \[ |\Delta \mathbf{r}| = \sqrt{\left(\frac{3}{2}\right)^2 + \left(\frac{-4}{3}\right)^2 + (4)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{16}{9} + 16} \]

Объединим дроби: \[ = \sqrt{\frac{81}{36} + \frac{64}{36} + \frac{576}{36}} = \sqrt{\frac{721}{36}} \] \[ = \frac{\sqrt{721}}{6} \]

Таким образом, мы нашли все необходимые зависимости и значения. Если есть дополнительные вопросы или необходимы более детализированные объяснения, не стесняйтесь спрашивать!