Реши дробь в числителе 2+√2 в знаменатели √3+√6

Чтобы решить дробь \(\frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}}\), начнём с рационализации знаменателя. Для этого перемножим числитель и знаменатель на сопряжённое выражение к знаменателю \(\sqrt{3}-\sqrt{6}\):

\[ \frac{2+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{6}} \cdot \frac{\sqrt{3}-\sqrt{6}}{\sqrt{3}-\sqrt{6}} = \frac{(2+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{6})}{(\sqrt{3}+\sqrt{6})(\sqrt{3}-\sqrt{6})}. \]

Теперь вычислим знаменатель:

\[ (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{6})^2 = 3 - 6 = -3. \]

Теперь перейдём к числителю. Раскроем скобки:

\[ (2+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{6}) = 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} + \sqrt{2}\sqrt{3} - \sqrt{2}\sqrt{6}. \]

Соберём все термины:

\[ 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6} - \sqrt{12} = 2\sqrt{3} - (2\sqrt{6} + \sqrt{6}) - 2\sqrt{3}. \]

Таким образом, числитель будет равен:

\[ 2\sqrt{3} - 2\sqrt{6} + \sqrt{6} - 2\sqrt{3} = - 2 + 3\sqrt{2}. \]

Теперь подставим числитель и знаменатель в дробь:

\[ \frac{-2 + 3\sqrt{2}}{-3} = \frac{2 - 3\sqrt{2}}{3}. \]

Итак, окончательный ответ будет:

\[ \frac{2 - 3\sqrt{2}}{3}. \]