Log_9 x²+log_корень из 3 x=3

Чтобы решить уравнение \( \log_9 (x^2) + \log_{\sqrt{3}} (x) = 3 \), начнем с упрощения логарифмических выражений.

1. Используем свойство логарифмов: \( \log_a (b) + \log_a (c) = \log_a (b \cdot c) \).

Так как основания логарифмов разные, преобразуем их к одному основанию. Напомним, что:

\[ \log_a (b) = \frac{\log_c (b)}{\log_c (a)} \]

Мы можем выбрать основание 3, чтобы упростить выражения:

\[ \log_9 (x^2) = \frac{\log_3 (x^2)}{\log_3 (9)} = \frac{\log_3 (x^2)}{2} = \frac{2 \log_3 (x)}{2} = \log_3 (x) \] \[ \log_{\sqrt{3}} (x) = \frac{\log_3 (x)}{\log_3 (\sqrt{3})} = \frac{\log_3 (x)}{1/2} = 2 \log_3 (x) \]

Теперь подставим эти преобразования в исходное уравнение:

\[ \log_3 (x) + 2 \log_3 (x) = 3 \]

Теперь это упрощается до:

\[ 3 \log_3 (x) = 3 \]

Разделим обе стороны на 3:

\[ \log_3 (x) = 1 \]

Теперь преобразуем это логарифмическое уравнение в экспоненциальное:

\[ x = 3^1 = 3 \]

Итак, решение уравнения \( \log_9 (x^2) + \log_{\sqrt{3}} (x) = 3 \) — это \( x = 3 \).