дан треугольник АВС. AC = 39 см; угол B = 60°; угол C = 45° найди сторону АВ. (ответ упрости до наименьшего натурального числа под знаком корня)

Для решения задачи о нахождении стороны \( AB \) в треугольнике \( ABC \) с заданными параметрами ( \( AC = 39 \text{ см} \), \( \angle B = 60^\circ \), \( \angle C = 45^\circ \) ) воспользуемся теоремой синусов. Для начала, давайте найдем угол \( A \):

\[ \angle A = 180^\circ - \angle B - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 45^\circ = 75^\circ \]

Теперь, используя теорему синусов, мы можем записать соотношение:

\[ \frac{AB}{\sin C} = \frac{AC}{\sin B} \]

Подставим известные величины:

\[ \frac{AB}{\sin 45^\circ} = \frac{39}{\sin 60^\circ} \]

Значения синусов равны:

\[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Теперь подставим эти значения в уравнение:

\[ \frac{AB}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{39}{\frac{\sqrt{3}}{2}} \]

Упростим уравнение:

\[ AB \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 39 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Умножим обе стороны уравнения на 2:

\[ AB \cdot \sqrt{3} = 39 \cdot \sqrt{2} \]

Теперь разделим обе стороны на \( \sqrt{3} \):

\[ AB = \frac{39 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{3}} \]

Чтобы привести выражение к стандартному виду, умножим и поделим на \( \sqrt{3} \):

\[ AB = \frac{39 \cdot \sqrt{6}}{3} = 13 \cdot \sqrt{6} \]

Теперь у нас есть ответ, где \( AB = 13 \sqrt{6} \).

Это выражение уже содержит наименьшее натуральное число под знаком корня. В итоге, длина стороны \( AB \) равна \( 13 \sqrt{6} \) см.