Найдите центр и радиус окружности, заданной уравнением x²+y²-6x-2y-15=0

Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением \( x^2 + y^2 - 6x - 2y - 15 = 0 \), необходимо привести уравнение к стандартному виду окружности:

\[ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \]

где \( (h, k) \) — координаты центра окружности, а \( r \) — радиус.

1. Приведём уравнение к стандартному виду. Для этого сгруппируем \( x \) и \( y \):

\[ x^2 - 6x + y^2 - 2y - 15 = 0 \]

2. Завершим квадрат для \( x \) и \( y \).

   • Для \( x^2 - 6x \):

     • Половина коэффициента при \( x \) равна \( -3 \) (то есть \( \left(\frac{-6}{2}\right)^2 \)).
     • Добавим и вычтем \( 9 \) (так как \( (-3)^2 = 9 \)): \[ x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2 \]

   • Для \( y^2 - 2y \):

     • Половина коэффициента при \( y \) равна \( -1 \) (то есть \( \left(\frac{-2}{2}\right)^2 \)).
     • Добавим и вычтем \( 1 \) (так как \( (-1)^2 = 1 \)): \[ y^2 - 2y + 1 = (y - 1)^2 \]

Теперь мы можем записать уравнение:

\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 - 9 - 1 - 15 = 0 \]

Упрощаем:

\[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 - 25 = 0 \] \[ (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 25 \]

3. Из этого уравнения видно, что:
   • Центр окружности \( (h, k) = (3, 1) \)
   • Радиус \( r = \sqrt{25} = 5 \)

Таким образом, центр окружности находится в точке \( (3, 1) \), а радиус равен \( 5 \).