5) а) Решите уравнение: 4 sin 2x + 3cos4x-1=0.
Решим уравнение \( 4 \sin(2x) + 3 \cos(4x) - 1 = 0 \).
Для начала используем тригонометрическое тождество, связывающее \(\cos(4x)\) и \(\sin(2x)\). Мы знаем, что
\[ \cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x). \]
Подставим это в уравнение:
\[ 4 \sin(2x) + 3(1 - 2 \sin^2(2x)) - 1 = 0. \]
Раскроем скобки:
\[ 4 \sin(2x) + 3 - 6 \sin^2(2x) - 1 = 0. \]
Соберем все элементы в одно уравнение:
\[ -6 \sin^2(2x) + 4 \sin(2x) + 2 = 0. \]
Умножим все уравнение на -1, чтобы сделать коэффициенты положительными:
\[ 6 \sin^2(2x) - 4 \sin(2x) - 2 = 0. \]
Теперь можно воспользоваться формулой решения квадратного уравнения \( ax^2 + bx + c = 0 \):
\[ \sin(2x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]
где \( a = 6, b = -4, c = -2 \).
Подставим значения:
\[ \sin(2x) = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-2)}}{2 \cdot 6}. \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 16 + 48 = 64. \]
Теперь подставляем дискриминант обратно в формулу:
\[ \sin(2x) = \frac{4 \pm 8}{12}. \]
Таким образом, у нас есть два случая:
- \(\sin(2x) = \frac{12}{12} = 1\),
- \(\sin(2x) = \frac{-4}{12} = -\frac{1}{3}\).
Теперь решим каждое из этих уравнений.
- Для случая \(\sin(2x) = 1\):
\[ 2x = \frac{\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \implies x = \frac{\pi}{4} + k\pi. \]
- Для случая \(\sin(2x) = -\frac{1}{3}\):
\[ 2x = \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{или} \quad 2x = \pi - \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Разделим на 2:
\[ x = \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + k\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]
Таким образом, окончательные решения уравнения:
\[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad x = \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + k\pi, \quad x = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \arcsin\left(-\frac{1}{3}\right) + k\pi. \]
Не забывайте, что \(k\) - это любое целое число.
