log в 3 степени в скобках х-2 плюс log в скобках х+6 равно 2
Хорошо! Давай решим уравнение:
\[ \log_3 (x - 2) + \log_3 (x + 6) = 2 \]
Сначала используем свойство логарифмов, согласно которому сумма логарифмов равна логарифму произведения:
\[ \log_3 ((x - 2)(x + 6)) = 2 \]
Теперь, чтобы избавиться от логарифма, возводим 3 в степень 2:
\[ (x - 2)(x + 6) = 3^2 \]
Это упрощается до:
\[ (x - 2)(x + 6) = 9 \]
Теперь раскроем скобки:
\[ x^2 + 6x - 2x - 12 = 9 \]
Соберем все члены в одну сторону уравнения:
\[ x^2 + 4x - 12 - 9 = 0 \] \[ x^2 + 4x - 21 = 0 \]
Теперь мы можем применить формулу решения квадратных уравнений:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Здесь \( a = 1, b = 4, c = -21 \).
Сначала найдем дискриминант:
\[ D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-21) \] \[ D = 16 + 84 = 100 \]
Теперь подставим значения в формулу:
\[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{-4 \pm 10}{2} \]
Теперь найдём два возможных значения для \( x \):
- \( x = \frac{6}{2} = 3 \)
- \( x = \frac{-14}{2} = -7 \)
Теперь вспомним, что логарифм определён только для положительных аргументов, поэтому необходимо проверить, какие из найденных значений подходят к изначальному уравнению:
Для \( x = 3 \):
- \( x - 2 = 1 \) (положительно)
- \( x + 6 = 9 \) (положительно)
Для \( x = -7 \):
- \( x - 2 = -9 \) (отрицательно)
- \( x + 6 = -1 \) (отрицательно)
Таким образом, подходящее значение для решения уравнения:
\[ x = 3 \]
Если есть какие-либо вопросы или понадобятся дополнительные пояснения, не стесняйся обращаться!
