Найти кривую которая проходит через точку М (2; -3) а угловой коэффициент касательной в любой её точке равен ординате этой точки, увеличенной на две единицы
Чтобы найти кривую, удовлетворяющую заданным условиям, начнем с понимания, что угловой коэффициент касательной в любой точке кривой равен ординате этой точки, увеличенной на две единицы.
- Обозначим кривую как функцию \( y = f(x) \).
- Угловой коэффициент касательной равен производной функции, то есть \( f'(x) \).
- Условие задачи можно записать следующим образом: \[ f'(x) = f(x) + 2. \]
Это дифференциальное уравнение первого порядка. Для его решения начнем с разделения переменных:
\[ f'(x) - f(x) = 2. \]
Решим это уравнение методом integrating factor (интегрирующий множитель). Уравнение можно привести к стандартному виду: \[ f'(x) - f(x) = 2. \] Здесь можно взять интегрирующий множитель \( e^{-x} \): \[ e^{-x} f'(x) - e^{-x} f(x) = 2 e^{-x}. \] Теперь записываем левую часть как производную: \[ \frac{d}{dx}(e^{-x} f(x)) = 2 e^{-x}. \]
Интегрируем обе стороны: \[ \int \frac{d}{dx}(e^{-x} f(x)) \, dx = \int 2 e^{-x} \, dx. \] Левая часть дает: \[ e^{-x} f(x) = -2 e^{-x} + C, \] где \( C \) — константа интегрирования.
Умножим обе стороны на \( e^{x} \): \[ f(x) = -2 + Ce^{x}. \]
Теперь у нас есть общее решение, и мы можем использовать условие, что кривая проходит через точку \( M(2, -3) \): \[ f(2) = -3 \Rightarrow -2 + Ce^{2} = -3. \] Следовательно: \[ Ce^{2} = -1 \Rightarrow C = -\frac{1}{e^{2}}. \]
Подставим \( C \) обратно в уравнение: \[ f(x) = -2 - \frac{1}{e^{2}} e^{x} = -2 - \frac{1}{e^{2}} e^{x}. \]
Таким образом, искомая кривая, которая проходит через точку \( M(2, -3) \) и имеет угловой коэффициент касательной, равный ординате этой точки, увеличенной на две единицы, имеет вид: \[ f(x) = -2 - \frac{1}{e^{2}} e^{x}. \]
