1. Даны две точки А (0;3;0) и В (1;-1;2), О начало координат. На оси Ог найдите точку М, равноудаленную от точек А и В.

Для решения задачи начнем с определения координат искомой точки М, которая равнаудалена от точек А и В. Точки А и В имеют координаты:

• А(0; 3; 0)
• В(1; -1; 2)

Пусть точка М имеет координаты (0; y; 0) на оси Оg.

Сначала найдем расстояние от точки М до точки А:

\[ d(M, A) = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - 3)^2 + (0 - 0)^2} = |y - 3| \]

Теперь найдем расстояние от точки М до точки В:

\[ d(M, B) = \sqrt{(0 - 1)^2 + (y + 1)^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{1 + (y + 1)^2 + 4} = \sqrt{(y + 1)^2 + 5} \]

По условию задачи, М равноудалена от А и В, значит:

\[ |y - 3| = \sqrt{(y + 1)^2 + 5} \]

Теперь рассмотрим два случая: когда \( y - 3 \geq 0 \) и когда \( y - 3 < 0 \).

Случай 1: \( y - 3 \geq 0 \)

Тогда можем убрать модуль:

\[ y - 3 = \sqrt{(y + 1)^2 + 5} \]

Возведем обе стороны в квадрат:

\[ (y - 3)^2 = (y + 1)^2 + 5 \]

Раскроем скобки:

\[ y^2 - 6y + 9 = y^2 + 2y + 1 + 5 \] \[ y^2 - 6y + 9 = y^2 + 2y + 6 \]

Сократим \( y^2 \) с обеих сторон:

\[ -6y + 9 = 2y + 6 \] \[ -8y = -3 \] \[ y = \frac{3}{8} \]

Случай 2: \( y - 3 < 0 \)

Тогда у нас:

\[ 3 - y = \sqrt{(y + 1)^2 + 5} \]

Возводим обе стороны в квадрат:

\[ (3 - y)^2 = (y + 1)^2 + 5 \]

Раскроем скобки:

\[ 9 - 6y + y^2 = y^2 + 2y + 1 + 5 \] \[ 9 - 6y + y^2 = y^2 + 2y + 6 \]

Сократим \( y^2 \):

\[ 9 - 6y = 2y + 6 \] \[ -8y = -3 \] \[ y = \frac{3}{8} \]

Итак, в обоих случаях мы получили одно и то же значение \( y = \frac{3}{8} \).

Таким образом, точка М, равноудаленная от точек А и В на оси Оg, имеет координаты:

\[ М(0; \frac{3}{8}; 0) \]