|x ^ 2 - 4| + |x ^ 2 - 9| = 5
Чтобы решить уравнение |x² - 4| + |x² - 9| = 5, начнем с того, что определим, когда выражения внутри модулей принимают определенные значения.
- Определяем точки, где каждое выражение в модуле равно нулю:
- x² - 4 = 0 → x² = 4 → x = ±2
- x² - 9 = 0 → x² = 9 → x = ±3
Таким образом, важные точки для анализа: x = -3, -2, 2, 3.
- Разберем промежутки вокруг этих точек:
- Промежуток 1: x < -3
- Промежуток 2: -3 ≤ x < -2
- Промежуток 3: -2 ≤ x < 2
- Промежуток 4: 2 ≤ x < 3
- Промежуток 5: x ≥ 3
Теперь рассмотрим каждую из этих областей.
Промежуток 1: x < -3
В этом случае: |x² - 4| = -(x² - 4) = 4 - x² |x² - 9| = -(x² - 9) = 9 - x²
Подставляем в уравнение: 4 - x² + 9 - x² = 5 13 - 2x² = 5 2x² = 8 x² = 4 x = ±2
Проверяем, подходят ли корни к промежутку: x = -2 не подходит.
Промежуток 2: -3 ≤ x < -2
Здесь: |x² - 4| = 4 - x² |x² - 9| = 9 - x²
Подставляем: 4 - x² + 9 - x² = 5 13 - 2x² = 5 2x² = 8 x² = 4 x = -2 (при x = -2 не входит в интервал, проверяем дальше).
Промежуток 3: -2 ≤ x < 2
Теперь: |x² - 4| = 4 - x² |x² - 9| = 9 - x²
Подставляем: 4 - x² + 9 - x² = 5 13 - 2x² = 5 2x² = 8 x² = 4 x = ±2 (при x = -2 и x = 2).
Оба подходят.
Промежуток 4: 2 ≤ x < 3
Здесь: |x² - 4| = x² - 4 |x² - 9| = 9 - x²
Подставляем: x² - 4 + 9 - x² = 5 5 = 5
Эта область всегда верна, то есть все x в диапазоне [2, 3).
Промежуток 5: x ≥ 3
В этом случае: |x² - 4| = x² - 4 |x² - 9| = x² - 9
Подставляем: x² - 4 + x² - 9 = 5 2x² - 13 = 5 2x² = 18 x² = 9 x = 3 (входит в интервал).
Итак, окончательные решения: x = -2, x = 2 и x = 3.
Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с подобными задачами, не стесняйтесь задавать!
