|x+4|=|x-2|

Чтобы решить уравнение \(|x+4|=|x-2|\), необходимо рассмотреть два случая в зависимости от значений выражений внутри модулей.

Случай 1: \(x + 4 \geq 0\) и \(x - 2 \geq 0\)
Это означает, что \(x \geq -4\) и \(x \geq 2\). В этом случае можем убрать модули:
\[ x + 4 = x - 2 \]

В этом уравнении \(x\) исчезает с обеих сторон, что ведет к неверному утверждению \(4 = -2\). Таким образом, в этом случае решений нет.

Случай 2: \(x + 4 \geq 0\) и \(x - 2 < 0\)
Это означает, что \(x \geq -4\) и \(x < 2\). Убираем модули в соответствии со знаками:
\[ x + 4 = -(x - 2) \]
\[ x + 4 = -x + 2 \]
Теперь соберем все \(x\) на одной стороне:
\[ x + x = 2 - 4 \]
\[ 2x = -2 \]
\[ x = -1 \]

Теперь проверим, удовлетворяет ли \(x = -1\) условиям \(x \geq -4\) и \(x < 2\). Да, выполняется.

Случай 3: \(x + 4 < 0\) и \(x - 2 < 0\)
Это означает, что \(x < -4\). Убираем модули:
\[ -(x + 4) = -(x - 2) \]
Приведем уравнение к виду:
\[ -x - 4 = -x + 2 \]

Снова получаем неверное уравнение \( -4 = 2\). Таким образом, в этом случае решений также нет.

На итоговом этапе, у нас есть одно решение: \[ x = -1 \]

Это значение является единственным решением уравнения \(|x+4|=|x-2|\).