Найти наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке [-1, 3]. y=4-x^2/4+x^2

Для нахождения наименьшего и наибольшего значений функции \( y = \frac{4 - x^2}{4 + x^2} \) на отрезке \([-1, 3]\), следует использовать метод анализа функции и, при необходимости, находить её производную.

1. Найти производную функции:
   Для того чтобы найти экстремумы, вычислим первую производную функции: \[ y' = \frac{(4 + x^2)(-2x) - (4 - x^2)(2x)}{(4 + x^2)^2} \] Упрощаем это выражение: \[ y' = \frac{-2x(4 + x^2) - 2x(4 - x^2)}{(4 + x^2)^2} = \frac{-2x(8)}{(4 + x^2)^2} = \frac{-16x}{(4 + x^2)^2} \]

2. Найти критические точки:
   Установим \( y' = 0 \): \[ -16x = 0 \implies x = 0 \] Критическая точка \( x = 0 \) находится внутри заданного отрезка.

3. Вычислить значения функции:
   Теперь найдем значения функции в рамках нашего отрезка:

   • \( y(-1) = \frac{4 - (-1)^2}{4 + (-1)^2} = \frac{4 - 1}{4 + 1} = \frac{3}{5} \)
   • \( y(0) = \frac{4 - 0^2}{4 + 0^2} = \frac{4}{4} = 1 \)
   • \( y(3) = \frac{4 - 3^2}{4 + 3^2} = \frac{4 - 9}{4 + 9} = \frac{-5}{13} \)

4. Сравнить значения:
   Теперь сравним найденные значения:

   • \( y(-1) = \frac{3}{5} \approx 0.6 \)
   • \( y(0) = 1 \)
   • \( y(3) = \frac{-5}{13} \approx -0.385 \)

На основании этих подсчетов, наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке \([-1,3]\):

• Наименьшее значение: \( y(3) = \frac{-5}{13} \)
• Наибольшее значение: \( y(0) = 1 \)

Таким образом, наименьшее значение функции на отрезке равно \(\frac{-5}{13}\), а наибольшее — \(1\).