Упростите выражение, если x = 3 . 1/(2x - 4) - 1/(6 - 3x) и найдите его значение 3. Докажите тождество (x ^ 2 - 2x - 3)/(x ^ 2 - 1) + 4/(2x - 2) = 1 .
Конечно! Давайте решим оба задания по порядку.
1. Упрощение выражения
У нас есть выражение: \[ \frac{1}{2x - 4} - \frac{1}{6 - 3x} \]
Сначала подставим значение \( x = 3 \) в выражение. Начнем с нахождения чисел в знаменателях:
- \( 2x - 4 = 2(3) - 4 = 6 - 4 = 2 \)
- \( 6 - 3x = 6 - 3(3) = 6 - 9 = -3 \)
Теперь подставляем \( x = 3 \):
\[ \frac{1}{2} - \frac{1}{-3} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} \]
Теперь найдем общий знаменатель для сложения дробей. Общий знаменатель для 2 и 3 - это 6:
\[ \frac{1}{2} = \frac{3}{6}, \quad \frac{1}{3} = \frac{2}{6} \]
Теперь складываем дроби:
\[ \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{3 + 2}{6} = \frac{5}{6} \]
Итак, значение выражения при \( x = 3 \) равно \( \frac{5}{6} \).
2. Доказательство тождества
Теперь мы докажем следующее тождество:
\[ \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} + \frac{4}{2x - 2} = 1 \]
Начнем с упрощения левой части.
- Упростим дробь \( \frac{x^2 - 2x - 3}{x^2 - 1} \):
- \( x^2 - 2x - 3 \) можно разложить на множители: \( (x - 3)(x + 1) \)
- \( x^2 - 1 \) также можно разложить: \( (x - 1)(x + 1) \)
Таким образом, дробь преобразуется в:
\[ \frac{(x - 3)(x + 1)}{(x - 1)(x + 1)} \]
При условии \( x \neq -1 \), мы можем сократить на \( (x + 1) \):
\[ \frac{x - 3}{x - 1} \]
Теперь у нас остается вторая дробь \( \frac{4}{2x - 2} \):
\[ \frac{4}{2(x - 1)} = \frac{2}{x - 1} \]
Теперь мы можем присоединить обе дроби:
\[ \frac{x - 3}{x - 1} + \frac{2}{x - 1} = \frac{(x - 3) + 2}{x - 1} = \frac{x - 1}{x - 1} \]
Заметив, что \( x \neq 1 \), мы получаем:
\[ \frac{x - 1}{x - 1} = 1 \]
Таким образом, тождество доказано.
Если есть еще вопросы или нужно пояснение по какому-то из шагов, дайте знать!
