X/x+5 + x+5/x-5=50/x²-25

Чтобы решить уравнение \(\frac{x}{x+5} + \frac{x+5}{x-5} = \frac{50}{x^2 - 25}\), начнем с упрощения выражений.

Во-первых, заметим, что \(x^2 - 25\) можно разложить на множители: \[ x^2 - 25 = (x - 5)(x + 5). \]

Следовательно, правую часть уравнения можно записать следующим образом: \[ \frac{50}{(x - 5)(x + 5)}. \]

Теперь перепишем уравнение:

\[ \frac{x}{x + 5} + \frac{x + 5}{x - 5} = \frac{50}{(x - 5)(x + 5)}. \]

Для упрощения левой части уравнения найдем общий знаменатель. Общий знаменатель для первых двух дробей — это \((x + 5)(x - 5)\): \[ \frac{x(x - 5)}{(x + 5)(x - 5)} + \frac{(x + 5)(x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{x(x - 5) + (x + 5)(x + 5)}{(x + 5)(x - 5)}. \]

Теперь можем сложить числители: \[ x(x - 5) + (x + 5)^2. \] Распишем каждую часть:

1. \(x(x - 5) = x^2 - 5x\),
2. \((x + 5)^2 = x^2 + 10x + 25\).

Объединим эти выражения: \[ x^2 - 5x + x^2 + 10x + 25 = 2x^2 + 5x + 25. \]

Теперь заменим левую часть уравнения: \[ \frac{2x^2 + 5x + 25}{(x + 5)(x - 5)} = \frac{50}{(x - 5)(x + 5)}. \]

Удалим общий знаменатель: \[ 2x^2 + 5x + 25 = 50. \]

Теперь перенесем 50 в левую часть: \[ 2x^2 + 5x + 25 - 50 = 0 \implies 2x^2 + 5x - 25 = 0. \]

Теперь решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант \(D\) = \(b^2 - 4ac\): \[ D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-25) = 25 + 200 = 225. \]

Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два различных корня. Найдем корни: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm 15}{4}. \]

Таким образом, есть два корня:

1. \(x_1 = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\),
2. \(x_2 = \frac{-20}{4} = -5\).

Однако, корень \(x = -5\) делает знаменатель нулевым в исходном уравнении, что недопустимо. Поэтому окончательное решение: \[ x = \frac{5}{2}. \]

Если есть ещё вопросы или сомнения, не стесняйтесь спрашивать!