Токарь должен был отработать 240 деталей к определенному сроку. Усовершенствовав резец, он стал обрабатывать в час на 2 детали больше, чем предполагалось по плану, и потому…

Давайте решим эту задачу шаг за шагом.

1. Обозначим количество деталей, которое токарь должен обрабатывать за час согласно плану, как \( x \).

2. Тогда количество деталей, которые он обрабатывает после усовершенствования резца, будет \( x + 2 \).

3. По условию задачи, токарь должен был отработать 240 деталей. Мы можем выразить время, необходимое для выполнения задания по плану, как \( \frac{240}{x} \) часов.

4. Из-за усовершенствования резца он смог выполнить задание на 4 часа раньше. Время, которое он потребовал после усовершенствования, можно выразить как \( \frac{240}{x + 2} \) часов.

5. С учетом того, что он выполнил задание на 4 часа раньше, у нас есть уравнение: \[ \frac{240}{x} - \frac{240}{x + 2} = 4 \]

6. Упростим это уравнение. Умножим обе стороны уравнения на \( x(x + 2) \): \[ 240(x + 2) - 240x = 4x(x + 2) \]

7. Раскроем скобки: \[ 240x + 480 - 240x = 4x^2 + 8x \] \[ 480 = 4x^2 + 8x \]

8. Перепишем уравнение в стандартной форме: \[ 4x^2 + 8x - 480 = 0 \]

9. Упростим его, поделив на 4: \[ x^2 + 2x - 120 = 0 \]

10. Теперь воспользуемся формулой для решения квадратного уравнения: \[ x = \frac{{-b \pm \sqrt{{b^2 - 4ac}}}}{2a} \] где \( a = 1, b = 2, c = -120 \).

11. Подставим значения: \[ x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-120)}}}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{4 + 480}}}}{2} \] \[ x = \frac{{-2 \pm \sqrt{{484}}}}{2} \] \[ x = \frac{{-2 \pm 22}}{2} \]

12. Таким образом, у нас два возможных решения: \[ x = \frac{20}{2} = 10 \quad \text{или} \quad x = \frac{-24}{2} \] Поскольку количество деталей не может быть отрицательным, мы выберем: \[ x = 10 \]

Итак, токарь должен обрабатывать 10 деталей в час.