1. Дано: a {3; -5) , c'{-1; 2} . Разложите векторы а и по единичным векторам. 2. Дано: a'{-6;-8} , c'{-6;7}. Найти: a) a + č б) а- č b) |а| г) n = - 2a + 5č 3. Дано: С(3; -8),…

Конечно! Давайте по порядку разберём каждую задачу.

1. Разложите векторы a и c по единичным векторам.

Вектор \( a = (3; -5) \) и вектор \( c = (-1; 2) \).

Чтобы разложить векторы по единичным векторам \( \mathbf{i} = (1; 0) \) и \( \mathbf{j} = (0; 1) \), мы можем записать:

\[ a = 3 \cdot \mathbf{i} + (-5) \cdot \mathbf{j} \] \[ c = -1 \cdot \mathbf{i} + 2 \cdot \mathbf{j} \]

Таким образом, вектора \( a \) и \( c \) можно выразить через единичные векторы.

2. Найти: a) \( a + c \), б) \( a - c \), в) \( |a| \), г) \( n = -2a + 5c \)

Дано: \( a = (-6; -8), c = (-6; 7) \).

a) Сложение векторов: \[ a + c = (-6; -8) + (-6; 7) = (-6 - 6; -8 + 7) = (-12; -1) \]

б) Вычитание векторов: \[ a - c = (-6; -8) - (-6; 7) = (-6 + 6; -8 - 7) = (0; -15) \]

в) Норма (длина) вектора \( a \): \[ |a| = \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \]

г) Вычислим \( n = -2a + 5c \): \[ n = -2(-6; -8) + 5(-6; 7) = (12; 16) + (-30; 35) = (12 - 30; 16 + 35) = (-18; 51) \]

3. Найти координаты вектора \( SD \) и расстояние между точками \( C \) и \( D \).

Дано: \( C(3; -8), D(-1; -5) \).

Координаты вектора \( CD \): \[ CD = D - C = (-1 - 3; -5 + 8) = (-4; 3) \]

Расстояние между точками \( C \) и \( D \): \[ |CD| = \sqrt{(-4)^2 + (3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \]

4. Найдите координаты точки \( B \), середины отрезка \( MP \).

Дано: \( M(3; 6), P(-4; -3) \).

Координаты середины отрезка \( B \): \[ B = \left( \frac{x_M + x_P}{2}; \frac{y_M + y_P}{2} \right) = \left( \frac{3 - 4}{2}; \frac{6 - 3}{2} \right) = \left( \frac{-1}{2}; \frac{3}{2} \right) \] Получаем: \( B \left(-0.5; 1.5 \right) \).

5. Напишите уравнение окружности с центром в точке \( O(4; -2) \) и радиусом 6.

Уравнение окружности имеет вид: \[ (x - O_x)^2 + (y - O_y)^2 = R^2 \] Где \( O_x = 4, O_y = -2, R = 6 \). Подставляем значения: \[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 6^2 \] \[ (x - 4)^2 + (y + 2)^2 = 36 \]

6. Треугольник \( ABC \) задан координатами своих вершин.

А) Проверим, что треугольник равнобедренный. А(2; 4), B(2; 4), C(-6; 1).

Найдём длины всех сторон:

• \( AB = \sqrt{(2 - 2)^2 + (4 - 4)^2} = 0 \) (эти две точки совпадают, следовательно, не может быть треугольник)
• \( BC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(8)^2 + (3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \)
• \( AC = \sqrt{(2 - (-6))^2 + (4 - 1)^2} = \sqrt{(8)^2 + (3)^2} = \sqrt{64 + 9} = \sqrt{73} \)

Поскольку \( AC = BC \), то треугольник равнобедренный.

Б) Найдите длину медианы \( AM \), где \( M \) — середина отрезка \( BC \). Сначала найдем координаты \( M \): \[ M = \left( \frac{2 + (-6)}{2}; \frac{4 + 1}{2} \right) = \left(-2; 2.5 \right) \]

Теперь найдем длину медианы: \[ AM = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (4 - 2.5)^2} = \sqrt{(4)^2 + (1.5)^2} = \sqrt{16 + 2.25} = \sqrt{18.25} \approx 4.27 \]

В) Периметр треугольника \( AMC \): \[ P = AB + AC + BC = 0 + \sqrt{73} + \sqrt{73} = 2\sqrt{73} \approx 17.09 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно уточнение по любой из задач, пожалуйста, дайте знать!