Известны длины векторов: ÁB| = 4коренб2, ÁCI = 3и AB• AC = 12. Чему равен косинус между векторами ÁB и ÁC? Запиши в ответе число без иррациональности в знаменателе.

Для нахождения косинуса угла между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \) можно воспользоваться формулой скалярного произведения:

\[ \vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| |\vec{AC}| \cos(\theta), \]

где \( \theta \) — угол между векторами \( \vec{AB} \) и \( \vec{AC} \).

Из условия задачи нам известны:

• \( |\vec{AB}| = 4\sqrt{2} \)
• \( |\vec{AC}| = 3 \)
• \( \vec{AB} \cdot \vec{AC} = 12 \)

Подставим известные величины в уравнение:

\[ 12 = (4\sqrt{2}) \cdot 3 \cdot \cos(\theta). \]

Упростим выражение:

\[ 12 = 12\sqrt{2} \cdot \cos(\theta). \]

Теперь разделим обе стороны на \( 12\sqrt{2} \):

\[ \cos(\theta) = \frac{12}{12\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}. \]

Для того чтобы записать ответ без иррациональности в знаменателе, домножим числитель и знаменатель на \( \sqrt{2} \):

\[ \cos(\theta) = \frac{\sqrt{2}}{2}. \]

Таким образом, искомый косинус равен:

\[ \boxed{\frac{\sqrt{2}}{2}}. \]