2sin(x+п/3)+cos2х=√3cosx+1
Чтобы решить уравнение \(2\sin(x + \frac{\pi}{3}) + \cos(2x) = \sqrt{3}\cos(x) + 1\), начнем с преобразования его компонентов.
Преобразуем \(2\sin(x + \frac{\pi}{3})\): Используя формулу для синуса суммы, получаем: \[ \sin(x + \frac{\pi}{3}) = \sin(x)\cos(\frac{\pi}{3}) + \cos(x)\sin(\frac{\pi}{3}) = \sin(x)\cdot\frac{1}{2} + \cos(x)\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} \] Таким образом, \[ 2\sin(x + \frac{\pi}{3}) = 2\left(\frac{1}{2}\sin(x) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cos(x)\right) = \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) \]
Преобразуем \(\cos(2x)\): Используем известную формулу: \[ \cos(2x) = 2\cos^2(x) - 1 \]
Теперь подставим полученные результаты в уравнение: \[ \sin(x) + \sqrt{3}\cos(x) + (2\cos^2(x) - 1) = \sqrt{3}\cos(x) + 1 \]
Упростим уравнение: Сначала мы видим, что \(\sqrt{3}\cos(x)\) на обеих сторонах уравнения можно сократить: \[ \sin(x) + 2\cos^2(x) - 1 = 1 \] Это можно записать как: \[ \sin(x) + 2\cos^2(x) - 2 = 0 \]
Используя связь между синусом и косинусом (\(\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1\)), выразим \(\cos^2(x)\): \[ 2\cos^2(x) = 2(1 - \sin^2(x)) = 2 - 2\sin^2(x) \]
Теперь подставляем в уравнение: \[ \sin(x) + 2 - 2\sin^2(x) - 2 = 0 \] Упрощаем: \[ \sin(x) - 2\sin^2(x) = 0 \]
- Факторизуем уравнение: \[ \sin(x)(1 - 2\sin(x)) = 0 \] Это дает два случая:
- \(\sin(x) = 0\)
- \(1 - 2\sin(x) = 0 \Rightarrow \sin(x) = \frac{1}{2}\)
- Найдем все решения:
- Для \(\sin(x) = 0\): \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z} \]
- Для \(\sin(x) = \frac{1}{2}\): \[ x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, все решения уравнения: \[ x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}; \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Если есть вопросы по дальнейшим шагам или другим темам, не стесняйтесь задавать!
