Таня и Маня принялись обсуждать своих друзей. Они выяснили, что Маня знает 6-ю часть друзей Тани, и их общие знакомые составляют 14-ю часть её друзей. Через неделю Таня и Маня…

Для решения этой задачи давайте сначала обозначим количество друзей Тани за \( T \), а количество друзей Мани за \( M \).

Согласно условиям задачи, Маня знает \(\frac{1}{6}\) друзей Тани, что означает, что количество друзей Мани можно выразить как: \[ M = \frac{1}{6}T \]

Также известно, что их общие знакомые составляют \(\frac{1}{14}\) друзей Тани. Это значит, что общее количество друзей, которые знают обе подруги, можно записать так: \[ \frac{1}{14}T \]

Теперь, исходя из этих данных, можем составить уравнение для общего числа друзей: \[ \frac{1}{6}T = \frac{1}{14}T + x \] где \(x\) — количество друзей, которых знает только Маня.

Решим это уравнение:

1. Упростим уравнение так, чтобы выразить \(x\): \[ \frac{1}{6}T - \frac{1}{14}T = x \]

2. Найдем общий знаменатель для дробей. Общий знаменатель для 6 и 14 — это 42. Перепишем дроби: \[ \frac{1}{6}T = \frac{7}{42}T, \quad \frac{1}{14}T = \frac{3}{42}T \] Таким образом: \[ \frac{7}{42}T - \frac{3}{42}T = \frac{4}{42}T = x \]

Это показывает, что друзья Мани, которых она знает, равны: \[ M = x + \frac{1}{14}T \] Отсюда видно, что: \[ M = \frac{1}{6}T, \]

Теперь, чтобы решить задачу о количестве конфет, нужно найти такое количество конфет, которое делится как на \( T \), так и на \( M \).

Ниже найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел \( T \) и \( M \).

Подставим значения: если мы знаем, что \( M = \frac{1}{6}T \), то можно рассмотреть \( T = 42 \) (для удобства). Тогда подставляем: \[ M = \frac{1}{6} \cdot 42 = 7. \]

Теперь нам нужно найти НОК(42, 7).

1. Первые числа: \( 42 = 2 \times 3 \times 7 \).
2. Дальше найдем НОК: поскольку 42 содержит каждый из множителей 7 и 3, то НОК будет равен 42.

Итак, наименьшее количество конфет, которое можно купить, чтобы поделить его между друзьями Тани и Мани поровну, составляет 42 конфеты.