Найдите какое-нибудь трехзначное число, которое при делении на 5, 6 и на 13 дает в остатке 4.

Давайте обозначим искомое трехзначное число как \( x \). Мы знаем, что:

\[ x \equiv 4 \mod 5 \] \[ x \equiv 4 \mod 6 \] \[ x \equiv 4 \mod 13 \]

Так как во всех случаях остаток равен 4, мы можем записать это в виде:

\[ x - 4 \equiv 0 \mod 5 \] \[ x - 4 \equiv 0 \mod 6 \] \[ x - 4 \equiv 0 \mod 13 \]

Таким образом, \( x - 4 \) – это общее кратное чисел 5, 6 и 13. Найдем их наименьшее общее кратное (НОК).

Сначала разложим эти числа на простые множители:

• \( 5 = 5 \)
• \( 6 = 2 \cdot 3 \)
• \( 13 = 13 \)

Теперь находим НОК:

\[ \text{НОК}(5, 6, 13) = 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 13 = 390 \]

Таким образом, мы имеем \( x - 4 = 390k \) для некоторого целого \( k \). Следовательно:

\[ x = 390k + 4 \]

Теперь нам нужно найти такое \( k \), чтобы \( x \) было трехзначным. То есть:

\[ 100 \leq 390k + 4 < 1000 \]

Перепишем это неравенство:

1. \( 390k + 4 \geq 100 \)
   \( 390k \geq 96 \)
   \( k \geq \frac{96}{390} \)
   \( k \geq 0.246 \)
   (то есть, \( k \geq 1 \))

2. \( 390k + 4 < 1000 \)
   \( 390k < 996 \)
   \( k < \frac{996}{390} \)
   \( k < 2.554 \)
   (то есть, \( k \leq 2 \))

Таким образом, \( k \) может принимать значения 1 или 2.

1. Если \( k = 1 \): \[ x = 390 \cdot 1 + 4 = 394 \]

2. Если \( k = 2 \): \[ x = 390 \cdot 2 + 4 = 784 \]

Теперь мы проверим оба числа, чтобы убедиться, что они соответствуют условиям:

1. \( x = 394 \):

   • \( 394 \div 5 = 78 \) (остаток 4)
   • \( 394 \div 6 = 65 \) (остаток 4)
   • \( 394 \div 13 = 30 \) (остаток 4)

2. \( x = 784 \):

   • \( 784 \div 5 = 156 \) (остаток 4)
   • \( 784 \div 6 = 130 \) (остаток 4)
   • \( 784 \div 13 = 60 \) (остаток 4)

Оба числа, 394 и 784, удовлетворяют условиям задачи.

Всего осталось подвести итог: Трехзначные числа, которые при делении на 5, 6 и 13 дают остаток 4 – это 394 и 784.