5х+х^2/х-4<=0

Чтобы решить неравенство \( \frac{5x + x^2}{x - 4} \leq 0 \), начнем с его упрощения.

1. Перепишем неравенство: \[ \frac{x^2 + 5x}{x - 4} \leq 0 \]

2. Найдём нули числителя: Чтобы это сделать, решим уравнение \( x^2 + 5x = 0 \): \[ x(x + 5) = 0 \] Это уравнение имеет два корня: \( x = 0 \) и \( x = -5 \).

3. Найдём нули знаменателя: Знаменатель равен нулю, когда \( x - 4 = 0 \), то есть \( x = 4 \).

4. Определим знаки на интервалах: Теперь мы имеем три критических точки: \( -5 \), \( 0 \) и \( 4 \). Эти точки делят числовую прямую на четыре интервала:

   • \( (-\infty, -5) \)
   • \( (-5, 0) \)
   • \( (0, 4) \)
   • \( (4, +\infty) \)

5. Тестирование знаков: Теперь подберем тестовые значения из каждого интервала, чтобы определить знак функции \( \frac{x^2 + 5x}{x - 4} \).

   • Для интервала \( (-\infty, -5) \), например, \( x = -6 \): \[ \frac{(-6)^2 + 5(-6)}{-6 - 4} = \frac{36 - 30}{-10} = \frac{6}{-10} < 0 \]
   • Для интервала \( (-5, 0) \), например, \( x = -1 \): \[ \frac{(-1)^2 + 5(-1)}{-1 - 4} = \frac{1 - 5}{-5} = \frac{-4}{-5} > 0 \]
   • Для интервала \( (0, 4) \), например, \( x = 1 \): \[ \frac{1^2 + 5(1)}{1 - 4} = \frac{1 + 5}{-3} = \frac{6}{-3} < 0 \]
   • Для интервала \( (4, +\infty) \), например, \( x = 5 \): \[ \frac{5^2 + 5(5)}{5 - 4} = \frac{25 + 25}{1} = 50 > 0 \]

6. Результаты тестирования знаков:

   • На интервале \( (-\infty, -5) \) функция отрицательная.
   • На интервале \( (-5, 0) \) функция положительная.
   • На интервале \( (0, 4) \) функция отрицательная.
   • На интервале \( (4, +\infty) \) функция положительная.

7. Учтем знаки: Неравенство \( \frac{5x + x^2}{x - 4} \leq 0 \) выполняется на интервалах, где функция отрицательна или равна нулю. Таким образом, мы включаем нули в решение:

   • \( x \) из интервала \( (-\infty, -5) \)
   • \( x = -5 \)
   • \( x \) из интервала \( (0, 4) \)
   • \( x = 0 \)

Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -5] \cup [0, 4) \]

Если у вас остались вопросы по этой теме, не стесняйтесь задавать их!