Реши систему уравнений методом Гаусса: x + y + z = 3 8x - 2y + 5z = 32 2x + 7y - 6z = 6

Давайте решим систему уравнений методом Гаусса. Система выглядит так:

\[ \begin{cases} x + y + z = 3 \quad (1) \\ 8x - 2y + 5z = 32 \quad (2) \\ 2x + 7y - 6z = 6 \quad (3) \end{cases} \]

Сначала запишем коэффициенты в виде расширенной матрицы:

\[ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & | & 3 \\ 8 & -2 & 5 & | & 32 \\ 2 & 7 & -6 & | & 6 \end{pmatrix} \]

Теперь мы будем приводить матрицу к верхнетреугольному виду. Начнем с первого уравнения:

1. Умножим первое уравнение на 8 и вычтем второе: \[ 8 \times (1) - (2) \rightarrow 8x + 8y + 8z - (8x - 2y + 5z) = 24 - 32 \] Получаем: \[ 10y + 3z = -8 \quad (4) \]

2. Умножим первое уравнение на 2 и вычтем третье: \[ 2 \times (1) - (3) \rightarrow 2x + 2y + 2z - (2x + 7y - 6z) = 6 - 6 \] Получаем: \[ -5y + 8z = 0 \quad (5) \]

Теперь у нас есть новая система из двух уравнений (4) и (5):

\[ \begin{cases} 10y + 3z = -8 \quad (4) \\ -5y + 8z = 0 \quad (5) \end{cases} \]

Теперь выразим \(y\) через \(z\) из уравнения (5): \[ -5y + 8z = 0 \implies y = \frac{8}{5}z \]

Подставим это в уравнение (4): \[ 10\left(\frac{8}{5}z\right) + 3z = -8 \] \[ 16z + 3z = -8 \implies 19z = -8 \implies z = -\frac{8}{19} \]

Теперь подставим \(z\) обратно в уравнение для \(y\): \[ y = \frac{8}{5}\left(-\frac{8}{19}\right) = -\frac{64}{95} \]

Теперь подставим значения \(y\) и \(z\) в первое уравнение для нахождения \(x\): \[ x + \left(-\frac{64}{95}\right) + \left(-\frac{8}{19}\right) = 3 \]

Нам нужно привести все к общему знаменателю: \(-\frac{8}{19} = -\frac{40}{95}\). Теперь у нас: \[ x - \frac{64}{95} - \frac{40}{95} = 3 \] \[ x - \frac{104}{95} = 3 \implies x = 3 + \frac{104}{95} = \frac{285}{95} + \frac{104}{95} = \frac{389}{95} \]

Таким образом, мы нашли решение: \[ x = \frac{389}{95}, \quad y = -\frac{64}{95}, \quad z = -\frac{8}{19}. \]

Ответ:

\[ \begin{cases} x = \frac{389}{95} \\ y = -\frac{64}{95} \\ z = -\frac{8}{19} \end{cases} \]