1. Вычислите объем и площадь полной поверхности правильной треугольной призмы, если ребро основания 6 см, а боковое ребро 4 см.
Для вычисления объема и площади полной поверхности правильной треугольной призмы, нам нужно знать несколько важных параметров.
- Объем призмы (V): Объем призмы можно рассчитать по формуле: \[ V = S_{основания} \times h \] где \( S_{основания} \) — площадь основания призмы, а \( h \) — высота (длина бокового ребра).
Основание у нас правильный треугольник, у которого длина ребра равна 6 см. Площадь правильного треугольника вычисляется по формуле: \[ S = \frac{a^2 \sqrt{3}}{4} \] где \( a \) — длина ребра треугольника. Подставим значение: \[ S_{основания} = \frac{6^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{36 \sqrt{3}}{4} = 9\sqrt{3} \, \text{см}^2. \]
Теперь вычислим объем, подставив \( h = 4 \) см: \[ V = 9\sqrt{3} \times 4 = 36\sqrt{3} \, \text{см}^3. \]
- Площадь полной поверхности (S): Площадь полной поверхности призмы расчетивается как сумма площади двух оснований и площади боковых граней. Площадь боковых граней представляет собой три прямоугольника, у каждого из которых одна сторона равна длине бокового ребра, а другая — длине стороны основания.
Площадь двух оснований: \[ S_{оснований} = 2 \times S_{основания} = 2 \times 9\sqrt{3} = 18\sqrt{3} \, \text{см}^2. \]
Площадь боковых граней: Каждая из трех боковых граней имеет площадь:
- Первая грань: \( 6 \times 4 = 24 \, \text{см}^2 \)
- Вторая грань: \( 6 \times 4 = 24 \, \text{см}^2 \)
- Третья грань: \( 6 \times 4 = 24 \, \text{см}^2 \)
Итак, общая площадь боковых граней: \[ S_{боковых \, граней} = 3 \times 24 = 72 \, \text{см}^2. \]
Теперь складываем все, чтобы получить полную площадь поверхности: \[ S_{полная} = S_{оснований} + S_{боковых \, граней} = 18\sqrt{3} + 72 \, \text{см}^2. \]
Таким образом, мы получили:
- Объем призмы: \( 36\sqrt{3} \, \text{см}^3 \)
- Площадь полной поверхности: \( 18\sqrt{3} + 72 \, \text{см}^2 \)
