1.4.15. Свободно падающий камень пролетел последние три четверти пути за 1 с. С какой высоты он падал? 1.4.16. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения проходит путь 45…

Давайте подробно разберем каждый из представленных вопросов по физике, касающихся свободного падения и вертикального броска.

1.4.15. Свободно падающий камень пролетел последние три четверти пути за 1 с. С какой высоты он падал?

Обозначим высоту падения как \( h \). Тогда последние три четверти пути — это \( \frac{3}{4}h \), а оставшаяся четверть пути — \( \frac{1}{4}h \). Известно, что камень проходит \( \frac{3}{4}h \) за 1 секунду:

Используем уравнение свободного падения: \[ s = \frac{1}{2} g t^2, \] где \( g \approx 9.81 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения, \( t \) — время.

Сначала находим путь, пройденный за 1 с: \[ \frac{3}{4}h = \frac{1}{2} g (1^2) = \frac{1}{2} \cdot 9.81 \cdot 1 = 4.905 \, \text{м}. \] Отсюда получаем: \[ h = \frac{4.905 \times 4}{3} \approx 6.07 \, \text{м}. \]

1.4.16. Свободно падающее тело за последнюю секунду падения проходит путь 45 м. Определить высоту, с которой падало тело.

Пусть высота падения \( h \). Используем уравнение движения для последней секунды: \[ s = h - h_{t-1}, \] где \( h_{t-1} \) — высота, на которой тело находилось за секунду до падения.

По формуле для свободного падения: \[ s = \frac{1}{2} g t^2, \] для общего времени \( t \): \[ h = \frac{1}{2} g t^2, \] и для времени \( t - 1 \): \[ h_{t-1} = \frac{1}{2} g (t-1)^2. \] Следовательно, можем записать: \[ 45 = h - h_{t-1}. \] Зная, что \( h = \frac{1}{2} g t^2 \) и \( h_{t-1} = \frac{1}{2} g (t-1)^2 \), подставим их в уравнение: \[ 45 = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-1)^2. \] Решив это уравнение, определим \( t \) и высоту \( h \).

1.4.17. Тело, брошенное вертикально вверх, побывало на высоте 45 м дважды с интервалом 8 с. Определить величину начальной скорости.

Используем уравнение движения для вертикального броска: \[ h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2. \] На максимальной высоте (где тело дважды достигает 45 м) происходит:

1. Время подъема: \( t_1 \)
2. Время спуска: \( t_2 = t_1 + 8 \)

Проанализировав данные, можем записать два уравнения. Но заметим, что высота, умноженная на 2 (из-за времени), дает нам возможность посчитать вертикальную скорость.

Решим этот вопрос через систему уравнений.

1.4.18. Тело брошено с высоты 38 м с начальной скоростью 9 м/с, направленной вертикально вниз. Какой путь пройдет тело за последнюю секунду движения?

Для начала определим общую высоту, пройденную телом. Решением будет: \[ h = h_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g t^2. \]

Находим путь, пройденный за последнюю секунду, зная, что: \[ s = (h_0 + v_0 t + \frac{1}{2} g t^2) - (h_0 + v_0(t-1) + \frac{1}{2} g (t-1)^2). \]

1.4.19. Подъемный кран опускает бетонную плиту с постоянной скоростью 1 м/с. Когда плита находилась на расстоянии 4 м от поверхности земли, с нее упал небольшой камень. На сколько секунд камень раньше достигнет земли, чем плита?

Если плитка опускается вниз с постоянной скоростью, тогда время до достижения земли: \[ t_плита = \frac{4 \, м}{1 \, м/с} = 4 \, с. \]

Камень падает, и для него: \[ h = \frac{1}{2} g t^2. \] Используя эти уравнения, определяем время достижения земли камнем.

1.4.20. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 30 м/с. За какое время оно пролетит 50 м?

Для верхнего движения используем: \[ h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2, \] и подставляем значения для нахождения временного отрезка.

1.4.21. Над колодцем глубиной 20 м бросают вертикально вверх камень со скоростью 15 м/с. Через сколько секунд он достигнет дна колодца?

Сначала надо определить, сколько времени камень доберется до максимума, а затем — до дна.

1.4.22. Сосулька падает с крыши дома. Первую половину пути она пролетела за 1 с. Сколько времени ей осталось лететь?

Этот вопрос можно решать аналогично:

1. Находим высоту, пройденную за первую секунду.
2. Вычисляем полное время падения и вычитаем 1 с.

1.4.23. Тело брошено вертикально вверх со скоростью 50 м/с. Какой путь пройдет тело за 4 с?

Используем: \[ h = v_0 t - \frac{1}{2} g t^2, \] и подставляем \( v_0 = 50 \, м/с \), \( t = 4 \, с \).

Уровень С:

1.4.24. Мяч брошен вертикально вверх с начальной скоростью 30 м/с. Какой путь он пролетит за 4 с?

Аналогично предыдущему, используем формулы движения.

1.4.25. Одно тело падает с высоты 10 м, другое одновременно бросают вверх вдоль той же вертикали. При какой максимальной скорости второго тела можно избежать столкновения?

Для решения нужно найти время падения первого тела и скоростью второго так, чтобы они не встретились по пути.

Эти вопросы требуют применения известной формулы движения, а также тщательного анализа условий задачи для нахождения ответов. Каждая задача охватывает различные аспекты механики, связанные со свободным падением и бросками, что очень важно для понимания темы.