решить уравнение методом интервалов: (x^2+5x)(16-x^2)>0
Для решения неравенства \((x^2 + 5x)(16 - x^2) > 0\) методом интервалов, выполним следующие шаги:
Найдем нули функций. Мы решим уравнение, приравнивая каждую часть к нулю:
\(x^2 + 5x = 0\)
Факторизуем: \(x(x + 5) = 0\)
То есть \(x = 0\) или \(x = -5\).
\(16 - x^2 = 0\)
Это уравнение можно записать как: \(x^2 = 16\)
То есть \(x = 4\) или \(x = -4\).
Таким образом, нули функции \(f(x) = (x^2 + 5x)(16 - x^2)\) находятся в точках: \(x = -5\), \(x = -4\), \(x = 0\), \(x = 4\).
Разобьем числовую прямую на интервалы на основе найденных нулей. Получаются следующие интервалы:
- \((-\infty, -5)\)
- \((-5, -4)\)
- \((-4, 0)\)
- \((0, 4)\)
- \((4, +\infty)\)
Проведем тестирование знаков на каждом из интервалов. Мы будем подставлять тестовые точки из каждого интервала в неравенство \((x^2 + 5x)(16 - x^2)\) и определять знак произведения.
Для интервала \((-\infty, -5)\): взять \(x = -6\) \(((-6)^2 + 5(-6))(16 - (-6)^2) = (36 - 30)(16 - 36) = 6 \cdot (-20) < 0\).
Для интервала \((-5, -4)\): взять \(x = -4.5\) \(((-4.5)^2 + 5(-4.5))(16 - (-4.5)^2) = (20.25 - 22.5)(16 - 20.25) = (-2.25)(-4.25) > 0\).
Для интервала \((-4, 0)\): взять \(x = -2\) \(((-2)^2 + 5(-2))(16 - (-2)^2) = (4 - 10)(16 - 4) = (-6)(12) < 0\).
Для интервала \((0, 4)\): взять \(x = 2\) \(((2)^2 + 5(2))(16 - (2)^2) = (4 + 10)(16 - 4) = (14)(12) > 0\).
Для интервала \((4, +\infty)\): взять \(x = 5\) \(((5)^2 + 5(5))(16 - (5)^2) = (25 + 25)(16 - 25) = (50)(-9) < 0\).
Составим заключение на основе знаков:
- Наша функция положительна на интервалах \((-5, -4)\) и \((0, 4)\).
Итог: так как в неравенстве стоит знак ">", то искомое множество решений будет: \((-5, -4) \cup (0, 4)\).
Таким образом, решение неравенства \((x^2 + 5x)(16 - x^2) > 0\) – это \(x \in (-5, -4) \cup (0, 4)\).
