Решить уравнение с помощью интервалов: (1-х)(х-2)^2(х-5)>0
Чтобы решить неравенство \((1 - x)(x - 2)^2(x - 5) > 0\) с помощью интервалов, следуем следующему пошаговому алгоритму.
Находим корни уравнения: Сначала определим значения \(x\), при которых левое выражение равно нулю.
- \(1 - x = 0 \Rightarrow x = 1\)
- \((x - 2)^2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
- \(x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5\)
Итак, корни уравнения: \(x = 1\), \(x = 2\) и \(x = 5\).
Определяем интервалы: Эти корни разбивают числовую прямую на четыре интервала:
- \( (-\infty, 1) \)
- \( (1, 2) \)
- \( (2, 5) \)
- \( (5, +\infty) \)
Тестируем знаки в каждом интервале: Мы можем выбрать тестовые точки из каждого интервала и подставить их в неравенство.
Для интервала \( (-\infty, 1) \), например, возьмем \(x = 0\): \[ (1-0)(0-2)^2(0-5) = 1 \cdot 4 \cdot (-5) = -20 < 0 \quad \text{(отрицательно)} \]
Для интервала \( (1, 2) \), например, возьмем \(x = 1.5\): \[ (1-1.5)(1.5-2)^2(1.5-5) = (-0.5)(-0.5^2)(-3.5) = -0.5 \cdot 0.25 \cdot (-3.5) = 0.4375 > 0 \quad \text{(положительно)} \]
Для интервала \( (2, 5) \), например, возьмем \(x = 3\): \[ (1-3)(3-2)^2(3-5) = (-2)(1)(-2) = 4 > 0 \quad \text{(положительно)} \]
Для интервала \( (5, +\infty) \), например, возьмем \(x = 6\): \[ (1-6)(6-2)^2(6-5) = (-5)(16)(1) = -80 < 0 \quad \text{(отрицательно)} \]
Составляем общий результат. Из тестирования знаков видно, что неравенство выполняется на интервалах \((1, 2)\) и \((2, 5)\).
Учитываем корни: Поскольку \( (x - 2)^2 \) не меняет знак и в точке \(x = 2\) равно нулю, эта точка не включается в решение неравенства.
Таким образом, решение неравенства \((1 - x)(x - 2)^2(x - 5) > 0\) выражается через интервалы: \[ \boxed{(1, 2) \cup (2, 5)} \]
