Чтобы решить уравнение ( 14 \cos^2 x + \sin 2x = 6 ), начнем с того, что используем формулу для синуса двойного угла:
[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x.
]
Теперь мы можем переписать уравнение:
[
14 \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 6.
]
Далее, полезно выразить ( \sin^2 x ) через ( \cos^2 x ) с помощью тождества ( \sin^2 x + \cos^2 x = 1 ). То есть, ( \sin^2 x = 1 - \cos^2 x ). Поскольку удобно работать с ( \sin x ) и ( \cos x ), можно выразить ( \sin x ) через ( \cos x ):
[
\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}.
]
Таким образом, уравнение становится:
[
14 \cos^2 x + 2 \sqrt{1 - \cos^2 x} \cos x = 6.
]
Обозначим ( \cos x = t ). Тогда:
[
14t^2 + 2 \sqrt{1 - t^2} t = 6.
]
Теперь решим это уравнение относительно ( t ). Для упрощения, перенесем все в одну сторону:
[
14t^2 + 2 \sqrt{1 - t^2} t - 6 = 0.
]
Выразим ( \sqrt{1 - t^2} ) через ( t ) и упростим, если это необходимо. Можно также возвести обе стороны в квадрат, чтобы избавиться от корня, но нужно быть осторожным с тем, что это может добавить дополнительные решения.
Пожалуйста, дайте знать, если нужна помощь в дальнейших упрощениях или решениях этого уравнения.
